Concepto de Vector

Un vector es una magnitud que tiene módulo, dirección y sentido. Se diferencia de un escalar, que solo tiene valor numérico.

Magnitudes escalares vs. vectoriales

Escalar	Vectorial
Temperatura: $25°C$	Velocidad: $60$ km/h hacia el norte
Masa: $5$ kg	Fuerza: $10$ N hacia abajo
Tiempo: $3$ s	Desplazamiento: $5$ m hacia la derecha

Representación gráfica

Un vector se dibuja como una flecha:

La longitud representa el módulo
La dirección es la recta sobre la que apoya
La punta de flecha indica el sentido

Componentes de un vector

En el plano, un vector $\vec{v}$ entre el punto $A = (x_1, y_1)$ y $B = (x_2, y_2)$ tiene componentes:

$$ \vec{v} = \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, \; y_2 - y_1) $$

$A = (1, 2)$ y $B = (4, 6)$

$$ \vec{AB} = (4-1, 6-2) = (3, 4) $$

En el espacio (3D):

$$ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $$

Módulo de un vector

El módulo $|\vec{v}|$ es la longitud del vector:

En el plano

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} $$

En el espacio

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} $$

$\vec{v} = (3, 4)$

$$ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Vector unitario

Un vector unitario tiene módulo 1. Se obtiene dividiendo el vector por su módulo:

$$ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $$

Unitario de $\vec{v} = (3, 4)$

$$ \hat{v} = \frac{(3, 4)}{5} = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$

Comprobación: $\sqrt{(3/5)^2 + (4/5)^2} = \sqrt{9/25 + 16/25} = \sqrt{1} = 1$ ✓

Vectores base

Los vectores unitarios sobre cada eje son los vectores base:

$$ \vec{i} = (1, 0), \quad \vec{j} = (0, 1) \quad \text{en el plano} $$

$$ \vec{i} = (1,0,0), \quad \vec{j} = (0,1,0), \quad \vec{k} = (0,0,1) \quad \text{en el espacio} $$

Cualquier vector puede expresarse en función de ellos:

$$ \vec{v} = (3, 4) = 3\vec{i} + 4\vec{j} $$

Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido, independientemente de su posición en el plano. Solo depende de sus componentes.

$$ \vec{u} = \vec{v} \iff u_1 = v_1 \text{ y } u_2 = v_2 $$

Vector opuesto

El opuesto de $\vec{v} = (v_1, v_2)$ es $-\vec{v} = (-v_1, -v_2)$. Mismo módulo y dirección, sentido contrario.