Operaciones con Vectores
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman las componentes correspondientes:
$$
\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, \; u_2 + v_2)
$$
Interpretación geométrica: Se coloca el inicio del segundo vector en el extremo del primero (regla del paralelogramo).
$\vec{u} = (2, 3)$, $\vec{v} = (1, -2)$
$\vec{u} = (2, 3)$, $\vec{v} = (1, -2)$
$$
\vec{u} + \vec{v} = (2+1, 3-2) = (3, 1)
$$
Resta de vectores
$$
\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, \; u_2 - v_2)
$$
Es equivalente a sumar el vector opuesto: $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$
$\vec{u} = (5, 4)$, $\vec{v} = (2, 1)$
$\vec{u} = (5, 4)$, $\vec{v} = (2, 1)$
$$
\vec{u} - \vec{v} = (5-2, 4-1) = (3, 3)
$$
Producto de un vector por un escalar
$$
k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_1, \; k \cdot v_2)
$$
- Si $k > 0$: el vector resultante tiene el mismo sentido y módulo $|k| \cdot |\vec{v}|$
- Si $k < 0$: el vector resultante tiene sentido contrario
- Si $k = 0$: el resultado es el vector nulo $\vec{0} = (0, 0)$
$\vec{v} = (2, -3)$, $k = 4$
$\vec{v} = (2, -3)$, $k = 4$
$$
4\vec{v} = (8, -12), \quad |4\vec{v}| = 4|\vec{v}|
$$
Propiedades
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Conmutativa | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ |
| Asociativa | $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ |
| Elemento neutro | $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$ |
| Opuesto | $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$ |
| Distributiva | $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$ |
Vector como combinación lineal
Todo vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores base:
$$
\vec{v} = (v_1, v_2) = v_1 \vec{i} + v_2 \vec{j}
$$
$(3, -2) = 3\vec{i} - 2\vec{j}$
Punto medio de un segmento
El punto medio $M$ entre $A$ y $B$ tiene coordenadas:
$$
M = \frac{A + B}{2} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)
$$
$A = (1, 3)$, $B = (5, 7)$
$$
M = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (3, 5)
$$
Vectores paralelos (colineales)
Dos vectores son paralelos si uno es múltiplo escalar del otro:
$$
\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} = k\vec{v} \text{ para algún } k \in \mathbb{R}
$$
Equivalentemente: $u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$
¿Son paralelos $(2, 4)$ y $(1, 2)$?
$(2, 4) = 2 \cdot (1, 2)$ → sí, son paralelos
¿Son paralelos $(3, 2)$ y $(6, 5)$?
$3 \cdot 5 - 2 \cdot 6 = 15 - 12 = 3 \neq 0$ → no son paralelos