Producto Escalar
El producto escalar (o producto punto) de dos vectores es una operación que da como resultado un número (escalar), no un vector.
Definición analítica
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2
$$
En el espacio (3D):
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3
$$
$\vec{u} = (3, 2)$, $\vec{v} = (1, 4)$
$\vec{u} = (3, 2)$, $\vec{v} = (1, 4)$
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11
$$
Definición geométrica
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta
$$
donde $\theta$ es el ángulo que forman los dos vectores ($0° \leq \theta \leq 180°$).
Ángulo entre dos vectores
Despejando de la definición geométrica:
$$
\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
$$
Ángulo entre $\vec{u} = (1, 0)$ y $\vec{v} = (1, 1)$
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1
$$
$$
|\vec{u}| = 1, \quad |\vec{v}| = \sqrt{2}
$$
$$
\cos \theta = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = 45°
$$
Vectores perpendiculares
Dos vectores son perpendiculares (forman 90°) si y solo si su producto escalar es cero:
$$
\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
$$
Esto se debe a que $\cos 90° = 0$.
¿Son perpendiculares $(3, -2)$ y $(4, 6)$?
$$
\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot 6 = 12 - 12 = 0 \implies \text{SÍ, son perpendiculares}
$$
Módulo mediante producto escalar
$$
|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = v_1^2 + v_2^2
$$
Propiedades del producto escalar
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Conmutativa | $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ |
| Distributiva | $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ |
| Escalar | $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ |
| No asociativa | $\vec{u} \cdot (\vec{v} \cdot \vec{w})$ no tiene sentido |
Proyección de un vector sobre otro
La proyección de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ es:
$$
\text{proy}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}
$$
La longitud de la proyección (proyección escalar) es:
$$
\text{comp}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}
$$
Proyección de $\vec{u} = (3, 4)$ sobre $\vec{v} = (1, 0)$
$$
\text{comp} = \frac{(3,4) \cdot (1,0)}{|(1,0)|} = \frac{3}{1} = 3
$$
La proyección es simplemente la componente horizontal.