Producto Vectorial

El producto vectorial (o producto cruzado) de dos vectores del espacio da como resultado un vector perpendicular a ambos.

Solo está definido para vectores en el espacio $\mathbb{R}^3$.

Definición

Dados $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ y $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$:

$$ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} $$

Desarrollando el determinante:

$$ \vec{u} \times \vec{v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2, \; u_3 v_1 - u_1 v_3, \; u_1 v_2 - u_2 v_1) $$

$(1, 2, 3) \times (4, 5, 6)$

$$ \vec{u} \times \vec{v} = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, \; 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, \; 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) $$

$$ = (12 - 15, \; 12 - 6, \; 5 - 8) = (-3, 6, -3) $$

Dirección y sentido

El vector $\vec{u} \times \vec{v}$ es perpendicular al plano formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

El sentido viene dado por la regla de la mano derecha: si apuntamos los dedos de la mano derecha en la dirección de $\vec{u}$ y los curvamos hacia $\vec{v}$, el pulgar indica la dirección de $\vec{u} \times \vec{v}$.

Módulo del producto vectorial

$$ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin \theta $$

donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores.

Interpretación geométrica

$|\vec{u} \times \vec{v}|$ es igual al área del paralelogramo construido con $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

El área del triángulo formado por los dos vectores es la mitad:

$$ \text{Área paralelogramo} = |\vec{u} \times \vec{v}| $$

$$ \text{Área triángulo} = \frac{|\vec{u} \times \vec{v}|}{2} $$

Propiedades

Propiedad	Fórmula
Anticonmutativa	$\vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u})$
Con sí mismo	$\vec{v} \times \vec{v} = \vec{0}$
Distributiva	$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$
Vectores paralelos	$\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$

Vectores base

$$ \vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} $$

Aplicaciones

Normal a un plano

Si conocemos dos vectores contenidos en un plano, su producto vectorial es el vector normal al plano.

Área de un paralelogramo

Área del paralelogramo con $\vec{u} = (1, 0, 0)$ y $\vec{v} = (0, 1, 0)$

$$ \vec{u} \times \vec{v} = (0, 0, 1) $$

$$ \text{Área} = |(0, 0, 1)| = 1 $$

(El cuadrado unitario tiene área 1)

Volumen del paralelepípedo

El volumen del paralelepípedo formado por $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ es:

$$ V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| $$

Este valor también se conoce como el triple producto mixto.