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1. ¡Comenúmeros tiene hambre! Ha decidido que el menú de hoy va a consistir en números pares de dos cifras que no tengan cifras repetidas. ¿Cuántos números podrá comerse? (1 puntos)
Retroalimentación: En primer lugar calculamos cuántos números pares de dos cifras hay. La cifra de las decenas se puede elegir de 9 formas distintas y una vez hecho esto, la de las unidades la podemos elegir de 5 maneras distintas (0, 2, 4, 6 y 8), por tanto habrá 9 \times 5 = 45 números pares de dos cifras. Pero de estos debemos restar los que tienen cifras repetidas, esto es; hay que retirar el 22, el 44, el 66, y el 88. En consecuencia, Comenúmeros se zampó 45 - 4 = 41 números.
2. La figura está formada por cuatro cuadrados de lados 1, 2, 3 y 4 cm. ¿Cuánto mide, en cm, su perímetro? (1 puntos)
Retroalimentación: Si completamos la figura hasta obtener el rectángulo ABCD , vemos que el perímetro de este es igual al de la figura original. Por lo tanto, el perímetro pedido será: 2 \times ((1 + 2 + 3 + 4) + 4) = 28 cm.
3. Las cifras del número 1201 suman cuatro. ¿Cuántos números hay de cuatro cifras que sumen cuatro? (1 puntos)
Retroalimentación: Empezaremos por considerar que el número cuatro se puede obtener de cinco formas distintas con cuatro cifras menores o iguales que cuatro, a saber: 1 a . [1, 1, 1, 1]. Sólo puede generar un número: el 1111 2 a . [2, 1, 1, 0]. La terna (2, 1, 1) puede ordenarse de tres formas distintas: (2, 1, 1), (1, 2, 1) y (1, 1, 2). Resta pues intercalar la cifra cero en cada una de ellas. Dado que eso puede hacerse de tres formas en cada terna, se generarán 3 \times 3 = 9 números. 3 a . [2, 2, 0, 0].
4. Cuatro amigos van en un patinete gigante: Fede, Gloria, Héctor e Isabel. ¿De cuántas maneras pueden colocarse sabiendo que Fede y Héctor no pueden estar seguidos? (1 puntos)
Retroalimentación: En la figura se han representado las 3 formas en las que se podrían colocar Fede y Héctor, siempre y cuando Fede vaya delante de Héctor. Si por el contrario el que va delante es Héctor, tendríamos también 3 formas, (basta intercambiarlos en la figura). Tenemos pues 6 formas de colocar los dos amigos en el patinete. Teniendo en cuenta que en los dos huecos que quedan se han de colocar las dos chicas, es obvio que en total habrá 6 \times 2 = 12 maneras de colocar a los cuatro amigos.
5. En el Quidditch se suman 3 puntos si se gana un partido, un punto si se empata y cero puntos si se pierde. El equipo de Harry Potter consiguió 11 puntos en los cinco primeros partidos de la temporada. Después de eso no ha vuelto a empatar. Si al final de los veinte partidos de la temporada consiguió 38 puntos, ¿cuántos partidos ha ganado en total? (1 puntos)
Retroalimentación: Para acumular 11 puntos en 5 partidos, como mínimo, deberá haber ganado 3 partidos, porque si solo gana 2 es imposible sumar 11 puntos entre los 5 partidos. Tampoco puede haber ganado 4 pues 4 \times 3 = 12 . Podemos, pues, asegurar que en los 5 primeros partidos ha ganado 3 y empatado 2. En los 15 partidos restantes debe ganar 38 - 11 = 27 puntos sin empatar en ningún partido, dado que 27 = 9 \times 3 .
6. ¿Cuántos cuadrados de cualquier tamaño hay en esta figura? (1 puntos)
Retroalimentación: En la figura se señalan, con un punto en el centro, los 14 cuadrados más pequeños; con un circulito en su centro los 7 cuadrados 2 \times 2 y con un rombo en su centro los 2 cuadrados 3 \times 3 . Como no puede haber cuadrados mayores, el número de cuadrados de cualquier tamaño es: 14 + 7 + 2 = 23 .
7. Ana, Diego, Lucía y Miguel han hecho varias fotos. En todas ellas salen al menos dos de ellos y en ninguna salen exactamente los mismos. ¿Cuántas fotos han sacado como máximo? (1 puntos)
Retroalimentación: Para resolver el problema basta con contar todas las formas de agruparlos de dos en dos; o de tres en tres; o de cuatro en cuatro. Una forma cómoda de hacerlo es mediante un diagrama de árbol como el de la figura, en la que las letras son las iniciales de los fotografiados. Por otra parte, los números de arriba dan el número de amigos agrupados en cada foto.
8. En esta resta, cada símbolo representa siempre la misma cifra. ¿Cuánto vale la carita feliz? 4 ☺ 5 ✿ - ✿ 0 ✿ 5 ✿ ☺ ✿ ☺ (1 puntos)
Retroalimentación: La resta dada es equivalente a la suma y como \begin{array}{r} 0 + \textcircled{\cdot} = \textcircled{\cdot} \\ \bullet + \bullet = 4 \end{array} implica que \begin{array}{r} \bullet 0 \bullet 5 \\ + \bullet \textcircled{\cdot} \bullet \textcircled{\cdot} \\ \hline 4 \textcircled{\cdot} 5 \bullet \end{array} implica que \bullet = 2 .
9. Emma dobla un trozo de papel cuadrado por la mitad. Si el perímetro del rectángulo obtenido es 18 cm, ¿cuál es, en cm ^2 , el área del cuadrado original de Emma? (1 puntos)
Retroalimentación: La simple observación de la figura lleva a la conclusión de que: L + L + \frac{L}{2} + \frac{L}{2} = 18 , es decir, 3 \times L = 18 , L = 6 . Por tanto, el área del cuadrado mide: 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2 . a Fase. (Soluciones Nivel I)
10. “Si me das un euro”, le dice María a Jesús, “tendré el doble de euros que tú; en cambio, si yo te doy un euro tendremos la misma cantidad”. ¿Cuántos euros tienen entre los dos? (1 puntos)
Retroalimentación: Problemas como este pueden resolverse con la ayuda de una representación gráfica conveniente como la de las siguientes figuras, donde cada cuadradito representa un euro. En primer lugar representamos: Si me das un euro tendré el doble que tú. A continuación representamos: Si te doy un euro tendremos la misma cantidad. La anterior igualdad implica que después debe ser: De dónde se deduce que entre los dos tienen 12 euros. (María tiene 7 euros y Jesús tiene 5 euros).
11. Don Retorcido ha multiplicado mentalmente dos números de dos cifras y ha anotado el resultado. Después de tan noble hazaña se ha ido a la cocina y se ha preparado un té. Luego ha vuelto a su despacho a repasar la cuenta, pero ha encontrado que Comenúmeros se ha comido una cifra de cada factor y una del resultado. Así, solo puede ver que $3\blacksquare \times \blacksquare 9 = 18\blacksquare 3$ . ¿Cuánto suman los números desaparecidos? (1 puntos)
Retroalimentación: El 3, de la cifra de las unidades del resultado, implica que el multiplicando es 37 ( 9 \times 7 = 63 ) y, reponiendo el 7 que se comió Comenúmeros podemos escribir la multiplicación como se muestra en la figura. Al sumar 3 + c , o llevamos 0 o llevamos 1. 0 no puede ser porque entonces el multiplicador debe ser 19, que es incompatible con el resultado. Si llevamos 1, c debe ser 7, 8, o 9. 7 no puede ser porque el multiplicador sería 19 que, como hemos visto, no es compatible con el resultado.
12. Rata encontró un campo de fresas. Ayer se comió la mitad de las fresas del campo y hoy se ha comido la tercera parte de las que quedaban. Si para mañana le quedan 24 fresas, ¿cuántas fresas había en el campo al principio? (1 puntos)
Retroalimentación: Suponiendo que las fresas están repartidas uniformemente en el campo, podemos hacer una representación gráfica del problema, en la que hemos sombreado las fresas comidas por Rata. De la figura se deduce inmediatamente que, al principio, había 6 \times 12 = 72 fresas.
13. Hemos hecho doce jugadas. Cada vez que ganaste te di dos canicas, cada vez que perdiste me diste tres. Terminé ganando 21 canicas. ¿Cuántas jugadas gané? (1 puntos)
Retroalimentación: Hice 12 jugadas. Si no perdí ninguna, tendría un número de canicas igual a 12 \times 3 = 36 \neq 21 .Si perdí una partida, tendría un número de canicas igual a 11 \times 3 - 2 \neq 21 .Si perdí 2, tendría un número de canicas igual a 10 \times 3 - 2 \times 2 = 21 .Si perdí 3, tendría un número de canicas igual a 9 \times 3 - 2 \times 3 = 21 . Por lo tanto gané 9 partidas.
14. Si sumas todos los números del 1 al 1000 que acaban en 7 y al resultado le restas todos los números del 1 al 1000 que acaban en 2, ¿qué obtienes? (1 puntos)
Retroalimentación: Hay 100 números que terminan en 7, cuya suma es: 7 + 17 + 27 + 37 + \dots + 97 Hay 100 números terminados en 2, cuya suma es: 2 + 12 + 22 + 32 + \dots + 92 Si realizamos la resta, término a término, tendremos: (7 - 2) + (17 - 12) + (27 - 22) + \dots + (97 - 92) = 5 + 5 + 5 + \dots + 5 = 100 \times 5 = 500.
15. El hexágono regular de la figura tiene 36 cm ^2 de área. ¿Cuál es el área, en cm ^2 , del rectángulo sombreado? (1 puntos)
Retroalimentación: Si se secciona el hexágono en 12 triángulos de igual área, según se muestra en la figura, es inmediato ver que el área de cada triángulo mide 36 : 12 = 3 \text{ cm}^2 .Dado que el rectángulo sombreado se compone de 8 triángulos, su área medirá 8 \times 3 = 24 \text{ cm}^2 . A regular hexagon divided into 12 congruent equilateral triangles by lines connecting the center to each vertex and the midpoints of opposite sides.
16. ¿Cuál es la cifra de las unidades de $2^{249}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Las sucesivas cifras de las unidades de las potencias de dos, empezando por el exponente 1, son: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, .... Vemos que se repiten en grupos de 4. Dado que 43 = 4 \times 10 + 3 , se deduce que la cifra de las unidades de 2^{43} es 8.
17. Los siete primos tenemos toallas del mismo tamaño y las hemos colocado formando un rectángulo sin que se solapen, como ves en la figura. Si llamamos L al largo de las toallas y A al ancho, ¿cuál es el resultado de dividir L entre A ? (1 puntos)
Retroalimentación: La simetría de la figura nos da la solución: el largo de cada una de las dos toallas de arriba abarca exactamente dos veces y media el ancho de una toalla. Por tanto, el resultado de dividir el largo entre el ancho es 2,5.
18. A la niña Centésima le gustan las figuras de animales. Compra sesenta figuras entre vacas, ovejas y gallinas. Cada vaca cuesta treinta euros, cada oveja dos euros y cada gallina un euro. Si en total gastó cien euros, averigua cuántas figuras de gallina compró. (1 puntos)
Retroalimentación: La niña Centésima compró 60 figuras. Partimos de que al menos compró una de cada clase. Empecemos por las vacas: no puede comprar 2 vacas porque entonces solo le quedarían 100 - 60 = 40 euros para gastar y no podría comprar las 58 figuras restantes. Sabemos, pues, que compra una vaca por 30 euros y le quedan 70 euros para comprar 59 figuras entre ovejas y gallinas.
19. En el examen que hoy ha puesto don Retorcido solo entra el número 2024. ¡¡¡Bien!!! Cuidado, no te fies de don Retorcido, mucha concentración. Hay cuatro afirmaciones: [A1] El número siguiente a 2024 es un número primo. [A2] Si a cada cifra de 2024 le sumas 5 obtienes un nuevo número que es múltiplo de 11. [A3] El área de un rectángulo de lados 88 m y 23 m es justamente 2024 m ^2 . [A4] $2024^1 - 1^{2024} = 2023$ . ¿Cuántas de esas cuatro afirmaciones son verdaderas? (1 puntos)
Retroalimentación: A1: 2025 es múltiplo de 5, luego no es primo. FALSA. A2: 7579 = 11 \times 689 , luego es múltiplo de 11. VERDADERA.A3: 88 \times 23 = 2024 \text{ m}^2 . VERDADERA.A4: 2024^1 - 1^{2024} = 2024 - 1 = 2023 . VERADERA. En consecuencia, son ciertas tres afirmaciones.
20. La niña Centésima dobla un rectángulo de papel por la mitad a lo ancho. Luego lo vuelve a doblar igual, por la mitad a lo ancho. Cuando acaba, hace un pequeño agujero en la esquina superior izquierda y lo desdobla. ¿Cómo queda el papel tras desdoblarlo? (1 puntos)
Retroalimentación: La solución es la B) ya que ni en el medio ni en los extremos se ha realizado perforación alguna.
21. Una bolsa contiene trece canicas de las cuales cuatro son negras, seis blancas y tres rojas. ¿De cuántas maneras puedes sacar un puñado de cinco canicas que contenga al menos una de cada color? (1 puntos)
Retroalimentación: Tres de las bolas deben ser una de cada color, con lo que, teniendo en cuenta las bolas que quedan (tres Negras, cinco Blancas y dos Rojas), las dos restantes pueden ser cualquiera de las parejas siguientes: (N, N), (N, B), (N, R), (B, B), (B, R) o (R, R). Por tanto hay seis maneras de sacar, de la bolsa, el puñado de cinco canicas que contenga al menos una de cada color.
22. ¿Qué cifra ocupa la posición decimal número 20 del resultado de dividir 50 entre 37? (1 puntos)
Retroalimentación: La posición decimal número 20 es la posición número 19 tras la coma. Dado que 50 : 37 = 1,351351351 \dots y que 19 = 3 \times 6 + 1 , la cifra pedida es la 3.
23. Zoe elige su número favorito y realiza las siguientes operaciones encadenadas: le suma 20; multiplica por 8; luego lo divide entre 3; y le resta 22. De esta manera el número favorito de Zoe se ha transformado en el número 50. El número favorito de Zoe cumple que... (1 puntos)
Retroalimentación: El proceso de Zoe sobre su número favorito: a) Parte de su número favorito. b) Suma 20. c) Multiplica por 8. d) Divide por 3. e) Resta 22. f) Obtiene 50. El proceso inverso nos devolverá su número favorito: f') Parto del número 50. e') Sumo 22 \rightarrow 50 + 22 = 72 .d') Multiplico por 3 \rightarrow 72 \times 3 = 216 .c') Divido por 8 \rightarrow 216 : 8 = 27 .b') Resto 20 \rightarrow 27 - 20 = 7 . a') Su número favorito es 7. Por tanto, es un número primo.
24. En una familia cada hijo tiene el triple de hermanas que de hermanos, y cada hija tiene el doble de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos hijos e hijas hay en total? (1 puntos)
Retroalimentación: Nos dicen que cada hija tiene el doble de hermanas que de hermanos, esto es: Número de hijas menos 1 = 2 multiplicado por el número de hijos. También nos han dicho que cada hijo tiene el triple de hermanas que de hermanos, es decir: Número de hijos menos 1 = Número de hijas dividido por 3. Esto implica que el número de hijas es múltiplo de 3.
25. En la fiesta final de curso, las consonantes P, Q, R y S bailan en pareja, con las vocales A, E, I y O. Averigua quién baila con O teniendo en cuenta estos datos: R baila con A, Q no baila con O ni con I, y además O y P no se soportan. (1 puntos)
Retroalimentación: Este tipo de problemas se resuelven fácilmente si nos ayudamos de una tabla como la de la figura de arriba. En la que pondremos Sí en la casilla de cruce si ambos bailan y No si no lo hacen. A E I O P Q R