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1. Empieza el concurso con un examen de Verdadero (V) o Falso (F). (1 puntos)
Retroalimentación: La primera afirmación es verdadera, todos los números cuya suma de cifras es 12, son múltiplos de 3 porque 12 es, a su vez, múltiplo de 3. La segunda afirmación también es verdadera. Como sabes, A = \pi r^2 y L = 2\pi r . Así pues, 2A = 2\pi r^2 = r(2\pi r) = \pi L . Factorizando el número 2024 obtenemos que: 2024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 , que solo tiene 3 factores primos, luego la tercera afirmación también es cierta.
2. Las sumas de tres números tomados de dos en dos son 36, 41 y 47. ¿Cuál es el número que está en el medio? (1 puntos)
Retroalimentación: Llamando a los números a \leq b \leq c , sabemos que a + b = 36 , a + c = 41 y b + c = 47 . Sumando las tres expresiones tenemos que 2a + 2b + 2c = 36 + 41 + 47 = 124 . Así pues, a + b + c = 62 y como a + c = 41 , b = 62 - 41 = 21 .
3. He dibujado un círculo y luego he trazado 2024 diámetros diferentes. ¿En cuántos sectores ha quedado dividido mi círculo? (1 puntos)
Retroalimentación: Si dibujamos un diámetro obtenemos dos sectores, y cada vez que dibujamos un nuevo diámetro dividimos dos sectores por la mitad, obteniendo 4. Es decir, cada nuevo diámetro aumenta el número de sectores en dos. Siguiendo este razonamiento, cuando tracemos 2024 diámetros obtendremos 4048 sectores.
4. Maribel ha conseguido un litro de pintura rosa mezclando dos partes de pintura blanca y una de pintura roja. Juan Pablo ha mezclado tres partes de pintura blanca con una parte de pintura roja para obtener dos litros de pintura rosa. Si Maribel y Juan Pablo mezclan ahora sus botos de pintura rosa, ¿qué fracción de pintura roja hay en esa mezcla final? (1 puntos)
Retroalimentación: En el litro de Maribel hay un tercio de litro de pintura roja, mientras que en los dos litros de Juan Pablo hay medio litro de pintura roja. Sumando ambas cantidades tendremos que en los 3 litros de la nueva mezcla habrá \frac{5}{6} de litro de pintura roja, lo que supone una proporción de \frac{5}{18} .
5. Estás viendo el perfil de un puente de 12 m de longitud construido con once barras de acero, todas ellas iguales. ¿Cuántas barras necesitaremos para construir otro puente con igual diseño pero de 44 m de longitud? (1 puntos)
Retroalimentación: Fijándonos en la base vemos que cada barra mide 4 m, así que para un puente de 44 metros necesitaremos 11 barras de base, obteniendo 11 triángulos equiláteros, usando 33 barras. Para la parte superior usaremos una barra menos de las que hay en la base, por lo que vamos a necesitar un total de 33 + 10 = 43 barras.
6. De tres números $A, B, C$ sabemos que $A$ no es múltiplo de 5, $B$ no es múltiplo de 3 y $C$ no es par. Si $\text{mcm}(A, B) = 900$ , $\text{mcm}(A, C) = 90$ y $\text{mcm}(B, C) = 300$ , ¿cuál es la suma de los tres números $A + B + C$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Analicemos los datos para ver cómo deben ser los 3 números. Como mcm ( A, B ) = 900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 y A no es múltiplo de 5, B debe tener el factor 5^2 y como B no es múltiplo de 3, A debe tener el factor 3^2 . Como mcm ( A, C ) = 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 y A no es múltiplo de 5, C debe tener el factor 5, y como C no es par, A
7. El resultado de $\frac{2024 + 10120}{6072 + 2024} - \frac{8096}{6 \cdot 2024}$ es igual a: (1 puntos)
Retroalimentación: Si vemos que 2024 es un factor que se repite, el cálculo es sencillo: \frac{2024 + 10120}{6072 + 2024} - \frac{8096}{6 \cdot 2024} = \frac{2024(1+5)}{2024(3+1)} - \frac{4 \cdot 2024}{6 \cdot 2024} = \frac{6}{4} - \frac{4}{6} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}
8. ¡Comenúmeros tiene hambre! Ha decidido que el menú de hoy va a consistir en números de tres cifras que no tengan cifras repetidas. ¿Cuántos números podrá comerse? (1 puntos)
Retroalimentación: En la posición de las centenas tenemos 9 posibilidades, todas las cifras menos el 0. Una vez que tenemos la cifra de las centenas esa no se puede volver a repetir, así que tenemos 9 cifras para elegir en las decenas. Finalmente, en la cifra de las unidades, los números no pueden tener ni la cifra de las centenas, ni la de las decenas, luego solo tenemos 8 posibilidades. Así que la cantidad de números que Comenúmeros se puede comer es: 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648 .
9. Con estos bonitos símbolos, ♥♥♥ , queremos construir hileras de cuatro símbolos con tres condiciones: siempre tienen que aparecer los tres símbolos; está prohibido que haya dos cuadrados juntos; el triángulo siempre tiene que estar al lado de un cuadrado y un corazón. Con esas normas, ¿cuántas hileras se pueden formar? (1 puntos)
Retroalimentación: Por las indicaciones que nos dan, siempre va a aparecer el trío \blacksquare \blacktriangledown \heartsuit o el trío \heartsuit \blacktriangledown \blacksquare . Ahora falta colocar a la derecha o a la izquierda los símbolos de manera que cumplan las condiciones.
10. ¡Siempre aparecen las potencias! ¿Cuál es el valor de $\frac{2^{40} \cdot 5^{10} \cdot 10^{100}}{2^{50} \cdot 50^{20} \cdot 100^{10}}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Hacemos el cálculo utilizando potencias de 2 y de 5: \frac{2^{40} \cdot 5^{10} \cdot 10^{100}}{20^{50} \cdot 50^{20} \cdot 100^{10}} = \frac{2^{40} \cdot 5^{10} \cdot 2^{100} \cdot 5^{100}}{2^{2 \cdot 50} \cdot 5^{50} \cdot 2^{20} \cdot 5^{20} \cdot 2^{10} \cdot 5^{10}} = \frac{2^{140} \cdot 5^{140}}{2^{100+20+20} \cdot 5^{50+40+20}} = \frac{2^{140} \cdot 5^{140}}{2^{140} \cdot 5^{110}} = 1
11. En una academia de música, la mitad de los estudiantes tocan el piano; el 55% tocan el violín; y hay 15% que tocan ambos instrumentos. Si hay ocho estudiantes que no tocan ni el violín ni el piano, ¿cuántos estudiantes tocan los dos instrumentos? (1 puntos)
Retroalimentación: Del 50 % de los alumnos que tocan piano, hay un 15% que también toca el violín, luego el 35% toca el piano, pero no el violín. De manera análoga, del 55% que toca el violín, un 40% no toca el piano. En total el 35\% + 40\% + 15\% = 90\% tocan el piano, el violín o ambas cosas, por lo que deducimos que hay un 10% que no toca ninguno de los dos instrumentos. Como el 10% de la academia son 8 alumnos, la academia tiene 80 alumnos y el 15% de 80 que toca ambos instrumentos son 12 estudiantes.
12. El número 2024 es múltiplo de 11. ¿Cuántos números de cuatro cifras son múltiplos de 11 con la condición de que la cifra 2 aparezca exactamente dos veces, situada en las unidades de millar y en las decenas? (1 puntos)
Retroalimentación: Los números van a ser de la forma \_ \_ \_ por lo que, para que sean múltiplos de 11, la suma de las cifras de las centenas y de las unidades debe ser 4 o 15. Tenemos cuatro casos en los que suma es 4 [2024, 2123, 2321, 2420] (excluimos el 2222 porque la cifra 2 debe aparecer exactamente dos veces) y otros cuatro casos en los que la suma es 15 [2629, 2728, 2827, 2926]. En total hay 8 números.
13. Ya has llegado al problema trece. ¿Cuántos números de tres cifras no nulas, $abc$ , con $a < b < c$ cumplen que la suma de sus cifras es 13? (1 puntos)
Retroalimentación: El número más pequeño que cumple las condiciones es el 139. Disminuyendo las unidades y aumentando las decenas obtenemos otros dos números que cumplen las condiciones y en los que la cifra de las centenas es 1 [148, 157]. Si la cifra de las centenas es un 2, el más pequeño es el 238 (el 229 no cumple las condiciones). De manera análoga al anterior caso obtenemos dos nuevos números [247, 256].
14. Con ocho cuadrados y un rectángulo gris he formado una bonita alfombra de 30 dm de largo y 15 dm de ancho, como en la figura. ¿Qué área, en $\text{dm}^2$ , tiene el rectángulo gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Llamando a los lados de los cuadrados a, b, c, d , tenemos que: c = 3a \quad 2b = 4 \quad b = 2a Vemos que c + b = 30 - 15 \rightarrow 3a + 2a = 15 \rightarrow a = 3 a + c + d = 15 \rightarrow 12 + d = 15 \rightarrow d = 3 Las dimensiones del rectángulo gris son: \text{alto } [d = 3 \text{ dm}] \text{ y largo } [b + c - d = 15 - 3 = 12 \text{ dm}]. \text{ Su área es } 3 \cdot 12 = 36 \text{ dm}^2.
15. En un depósito están mezclados 26 litros de leche y 14 litros de agua. Si se extraen 5 litros de dicha mezcla, ¿cuántos litros más de leche que de agua quedan en el depósito? (1 puntos)
Retroalimentación: Inicialmente tenemos 40 litros de mezcla, en la que hay 12 litros más de leche que de agua. Calculemos la proporción para ver qué ocurre en 35 litros: \frac{12}{40} = \frac{x}{35}; x = \frac{12 \cdot 35}{40} = 10,5 \text{ Así que habrá } 10,5 \text{ litros más de leche.}
16. En este cuadrado mágico cada fila, columna y diagonal suman lo mismo. Lo difícil es que hay algunos números negativos. ¿Qué número hay en la casilla inferior izquierda? (1 puntos)
Retroalimentación: Pongamos nombres y vayamos poco a poco planteando ecuaciones convenientes: Diagonal 1 y fila 2: 1 + a + c = -4 + a + 0 \rightarrow c = -5 .Diagonal 1 y columna 2: 1 + a - 5 = -6 + a + d \rightarrow d = 2 .Diagonal 1 y diagonal 2: 1 + a - 5 = b + a + e \rightarrow e = -4 - b .Fila 3 y columna 3: -4 - b + 2 - 5 = b + 0 - 5 \rightarrow b = -1 . Con un par de cálculos más podemos completar el cuadrado: 1 -6 b -4 a 0 e d c
17. ¿Cuántos años tiene usted, don Retorcido? ¡No seáis impertinentes! Dividid los grados que mide cada ángulo de un pentágono regular entre el número de divisores que tiene el 72, y a ese resultado sumadle el número primo capicúa más pequeño con más de dos cifras. Pues esa será mi edad dentro de veinte años. ¿Cuántos años tiene don Retorcido? (1 puntos)
Retroalimentación: Descubramos la edad de Don Retorcido: Grados de cada ángulo de un pentágono regular: 108 (180 \cdot (5 - 2)/5) Divisores de 72: 12 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72) Número primo capicúa más pequeño con más de 2 cifras: 101 Su edad es 108:12 + 101 - 20 = 90 .
18. El Pájaro Loco tenía un buen número de bellotas para pasar el mes de febrero. Al cabo de unos días se comió 40 bellotas, contó las que le quedaban y pensó "todavía me quedan más de la mitad de las que tenía al principio". Pasados los días encontró diez bellotas más y luego se comió siete. Entonces, mirando las bellotas que le quedaban, pensó "vaya, me quedan menos de 45 bellotas". ¿Cuántas bellotas le quedan al Pájaro Loco? (1 puntos)
Retroalimentación: Primer método A principio de mes se come 40 bellotas y le quedan al menos 41. Después aumenta su despensa en 3 unidades y tiene menos de 45. El único número mayor que 40 que al sumarle 3 se quede menor que 45 es el 41, luego ahora tiene 44 bellotas.
19. En la figura puedes ver que hemos juntado tres cuadrados para formar un polígono de ocho lados. ¿Cuántos metros mide el perímetro del octágono? (1 puntos)
Retroalimentación: El lado del cuadrado grande es 6 metros mayor que el lado del cuadrado mediano 4 metros mayor que el lado del cuadrado mediano. La suma de los lados de los tres cuadrados es 26. Así pues, llamando L al lado del cuadrado grande tenemos que L - 4 + L + L - 6 = 26 , es decir, L = 12 m. El perímetro mide 26 - 2(12 - 6) + 6 + 12 + 4 + 2(12 - 4) = 76 m.
20. En la figura ves un cuadrado y un triángulo isósceles con $AB = AC$ . ¿Cuánto mide el ángulo marcado con las interrogaciones? (1 puntos)
Retroalimentación: Al ser un triángulo isósceles, el ángulo ABC y el ángulo BCA son iguales. El ángulo ABC mide 45 + 8 = 53^\circ . La suma de los ángulos del triángulo ABC es 180^\circ , así que el ángulo CAB mide
21. Ariel escribe en la pizarra todos los números desde el 1 hasta el 900. Aparece Teo y borra todos los múltiplos de 3. Llega Zoe y borra todos los múltiplos de 5. ¿Cuántos números quedan ahora en la pizarra? (1 puntos)
Retroalimentación: Teo borra 300 múltiplos de 3. Zoe podría borrar 180 múltiplos de 5, pero entre estos 180 múltiplos de 5, hay 60 que ya están borrados por ser también múltiplos de 3. Así que en la pizarra quedan: 900 - 300 - (180 - 60) = 480 números.
22. ¿Cuál es la cifra de las unidades del producto $3^{41} \cdot 7^{46}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Si calculamos las potencias de 3 ( 3^0 = 1 , 3^1 = 3 , 3^2 = 9 , 3^3 = 27 , 3^4 = 81 , ...), vemos que la última cifra se repiten cada cuatro potencias con la secuencia 1 - 3 - 9 - 7. Lo mismo ocurre con las potencias de 7, en este caso con la secuencia 1 - 7 - 9 - 3. La cifra de las unidades de 3^{41} es 3, pues 41 = 4 \cdot 10 + 1 , y la cifra de las unidades de
23. El partido de balonmano va a comenzar y necesitamos camisetas para los siete jugadores del equipo. En una gran caja, revueltas, hay 20 camisetas blancas, 19 azules, 18 rojas y 17 amarillas. Si empezamos a sacar camisetas al tuntún, ¿cuál es el mínimo número de camisetas que debemos sacar para asegurarnos de tener siete camisetas del mismo color? (1 puntos)
Retroalimentación: En estos problemas siempre hay que ponerse en lo peor. Si necesitamos siete camisetas del mismo color, podemos llegar a la situación en la que hayamos sacado seis camisetas de cada uno de los cuatro colores. En esta situación, cuando extraigamos la camiseta número 25 conseguiremos siete de un color.
24. ¡Un crucigrama con números de tres cifras! Una cifra en cada casilla. Ninguna cifra se repite y el 0 no está. Cuando lo rellenes, ¿cuál es la suma de las cinco cifras de las casillas grises? (1 puntos)
Retroalimentación: Ponemos nombres y vamos completando el crucigrama poco a poco. Múltiplo de 5 El producto de sus cifras es 21 Cuadrado perfecto Sus cifras suman 11 A B C Múltiplo de 11 D E F
25. Piensa en el mayor número cuyas cifras, todas diferentes, suman nueve. ¿Cuál de estas opciones es la correcta? (1 puntos)
Retroalimentación: El número buscado es el 6210, para encontrarle vemos que tiene que terminar en 0, la cifra de las decenas será un 1 y las centenas un 2. Nos faltan 6 para que sumen 9, no lo podemos dividir en 2 sumandos diferentes, así que el resultado es 6210, que es un múltiplo de 23.