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1. Cuando Luca escribe la edad de su madre y a continuación la suya, se forma un número de cuatro cifras. Si a este número se le resta la suma de ambas edades, el resultado es 4257. ¿Cuál es la edad de su madre? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea ab la edad de la madre y bc la edad del hijo, el número formado con las dos edades será abcd ( 1000a + 100b + 10c + d ) y al restarle la suma de las edades de ambos ( 10a + b + 10c + d ) dará 4257. Por tanto, podemos plantear la ecuación 1000a + 100b + 10c + d - 10a - b - 10c - d = 4257 . Simplificando la expresión, queda 990a + 99b = 4257 \rightarrow 99(10a + b) = 99 \cdot 43 , de donde sacamos que 10a + b = 43 , que es la edad que tiene la madre.
2. En una lista tenemos 80 números enteros consecutivos. Si la mediana de los 25 primeros es 100, ¿cuál es la mediana de los 55 restantes? (1 puntos)
Retroalimentación: La mediana de 25 números implica 12 números menores y 12 números mayores. Como 100 es la mediana de los primeros 25, implica que 88 ( 100 - 12 ) es el primer número de la lista y 112 ( 100 + 12 ) es el último de esos 25 primeros números. De la misma manera, el primero de los últimos 55 números de la lista será 113, la mediana se encontrará después de 27 números, por tanto, será el 140 ( 113 + 27 ).
3. En este cuadrado mágico cada fila, columna y diagonal suman lo mismo. ¿Cuál es el valor de $M + A + G + I + C + O$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Nos fijamos en la última columna que suma 16 + A . Con ese dato rellenos el cuadrado en el siguiente orden. La primera fila suma 13 + M + A = 16 + A \rightarrow M = 3. La diagonal principal suma 22 + I = 16 + A \rightarrow I = A - 6 La segunda columna suma 3 + A - 6 + O = 16 + A
4. Tres cuadrados de un centímetro de lado están colocados en fila. Recortamos el cuadrado central, lo rotamos $45^\circ$ y lo apoyamos en el hueco que ha quedado como indica la figura. ¿A cuántos centímetros del suelo está el punto $B$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Nos fijamos que el triángulo ACD que es un triángulo rectángulo isósceles ya que los ángulos agudos son de 45° (puesto que es el giro que hemos hecho con él). El segmento CD es la mitad del lado del cuadrado original donde ahora está el hueco, por tanto CD mide \frac{1}{2} cm y al ser el triángulo isósceles deducimos que AC también mide \frac{1}{2} cm.
5. En el triángulo $ABC$ tomamos un punto $P$ sobre el lado $AB$ de tal manera que $PB = 4AP$ , de manera análoga tomamos el punto $Q$ sobre el lado $AC$ tal que $QC = 4AQ$ . Si $PQ = 8$ , ¿cuánto mide el lado $BC$ del triángulo? (1 puntos)
Retroalimentación: Nos ayudamos de un dibujo para poder resolver el ejercicio. Sabiendo que PB = 4AP (por tanto, AB = 5AP ) y QC = 4AQ , los triángulos ABC y APQ son semejantes. Utilizamos la semejanza para encontrar el valor de BC : \frac{AB}{AP} = \frac{BC}{PQ} \rightarrow \frac{5AP}{AP} = \frac{BC}{8} . Despejando BC obtenemos su medida que es 40.
6. Carmen y Esteban van de la mano hasta la parada del autobús. Esteban va dando zancadas y Carmen va dando saltitos. Carmen da diez saltitos por cada cuatro zancadas de Esteban. Si al llegar a la parada han contado 3577 movimientos entre zancadas y saltitos, ¿cuál es la suma de las cifras del número de saltitos que ha dado Carmen? (1 puntos)
Retroalimentación: Carmen da cinco saltitos por cada dos zancadas de Esteban, en este momento han realizado 7 movimientos entre los dos. Como en total han contado 3577 movimientos, significa que han realizado 3577 : 7 = 511 bloques de cinco saltitos y dos zancadas. Pero solo nos interesan los saltitos, así que serán 511 \cdot 5 = 2555 saltitos que realiza Carmen, cuyas cifras suman 17.
7. La media de 20 números es 30 y la media de otros 30 números es 20. ¿Cuál es la media de los 50 números? (1 puntos)
Retroalimentación: Si la media de 20 números es 30 significa que la suma de esos 20 números es 600 (20·30). De igual forma la suma de los otros 30 números será 600 (ya que su media era 20). Por tanto, la suma total de los 50 números es 600 + 600 = 1200, con lo que su media será 1200 : 50 = 24 .
8. Alba, Braulio, Carmen y Diego han jugado seis partidos de dobles al tenis. En cada partido ganó uno de los equipos y al final de cada partido se sorteaban nuevas parejas. Si Alba ganó con sus parejas cuatro partidos, Braulio dos y Carmen uno, ¿cuántos partidos ganó Diego? (1 puntos)
Retroalimentación: Se han jugado 6 partidos y en todos ellos ha ganado una pareja, por tanto, hay 12 victorias entre todos los jugadores. Si Alba ha conseguido cuatro, Braulio dos y Carmen una, entonces Diego habrá conseguido 12 - 4 - 2 - 1 = 5 .
9. El producto de las edades de mis padres es 2024 y la suma de sus edades no alcanza los cien años, ¿cuál es la diferencia de sus edades? (1 puntos)
Retroalimentación: Factorizamos 20024 = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 . Ahora vamos probando las diferentes opciones, agrupando los factores en dos grupos, hasta encontrar la única válida. Solo contemplamos edades mayores o iguales que 18 (mayoría de edad): 2 \cdot 2 \cdot 23 y 2 \cdot 11 , no puede ser porque 92 y 22 suman más de 100. 2 \cdot 23 y 2 \cdot 2 \cdot 11 , puede ser porque 46 y 44 suman menos de 100. 23 y 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 , no puede ser porque 23 y 88 suman más de 100.
10. En un campamento de verano, por la mañana podemos elegir entre jugar al fútbol, al baloncesto, al vóley o al tenis. Por la tarde podemos elegir entre natación, surf y piragüismo, y por la noche entre jugar a las cartas y contar historias en la hoguera. Mi amiga Isabel ha elegido fútbol, surf y cartas. ¿De cuántas formas puedo elegir si quiero coincidir con ella como mucho en una actividad? (1 puntos)
Retroalimentación: Utilizamos el diagrama de árbol para contar todos los casos posibles. Empezamos por los casos en que no coincidan en ninguna opción: por la mañana hay tres posibilidades (baloncesto, vóley o tenis), por la tarde hay dos (natación o piragüismo) y por la noche solo una (historias). En total, 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 opciones.
11. Tenemos un dado de seis caras donde figuran los seis primeros números primos. Lanzamos el dado dos veces. Calcula la probabilidad de que la suma de las tiradas sea par. (1 puntos)
Retroalimentación: Los números que aparecen en las caras del cubo son 2, 3, 5, 7, 11, 13. Para que la suma de las dos tiradas sea par sólo hay dos opciones que salga 2 y 2 o impar e impar. Así que la probabilidad pedida es P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{13}{18}
12. Colocamos en fila, de izquierda a derecha, los cuatro ases de la baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que el as de oros esté a la derecha del as de copas? (1 puntos)
Retroalimentación: Para calcular la probabilidad vamos a contar los casos posibles y los favorables. Colocar los cuatro ases de distintas formas es una permutación de cuatro elementos, por tanto, 4! = 24 casos posibles. Ahora buscamos el número de casos favorables en los que el as de oros esté a la derecha del as de copas. Si la primera es el as de oros, no hay ninguna posibilidad de encontrar la opción buscada.
13. Doblamos una hoja cuadrada de papel, de vértices $A, B, C, D$ , de forma que llevamos el vértice $B$ al punto medio $M$ del lado $CD$ , como muestra la figura. Si el segmento $QC$ mide 12 cm, ¿cuánto mide, en cm, el lado $AB$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Llamamos x al lado MC , por tanto, el lado del cuadrado será 2x . Como CQ mide 12 cm entonces QB medirá 2x - 12 . De igual modo MQ medirá 2x - 12 , ya que es el mismo trozo al doblarlo. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo MCQ , tenemos (2x - 12)^2 = x^2 + 12^2 , de donde 4x^2 - 48x + 144 = x^2 + 144 \rightarrow 3x^2 - 48x = 0 cuyas soluciones son x = 0 (no tiene sentido) y x = 16 . Por tanto, AB = BC = CQ + QB = 12 + (2 \cdot 16 - 12) = 32
14. ¿Cuál es la cifra de las unidades del producto $2^{38} \cdot 3^{41} \cdot 7^{46}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Dado que 3 \cdot 7 = 21 , cualquier potencia de 3 \cdot 7 acabará en 1, podemos reescribir el producto como 2^{38} \cdot (3 \cdot 7)^{44} \cdot 7^5 , y la cifra de las unidades de dicho producto sabemos que coincidirá con la del número 2^{38} \cdot 7^5 . Por una parte, 7^3 = 49 \cdot 7 acabará en 3, porque 9 \cdot 7 acaba en 3; 7^4 = \dots 3 \cdot 7 acabará en 1; y finalmente 7^5 = \dots 1 \cdot 7 acabará en 7.
15. En la siguiente tira, del tercer número en adelante, cada número es la suma de los dos que le preceden. ¿Qué número hay en la casilla que tiene las interrogaciones? (1 puntos)
Retroalimentación: Si llamamos x al número de la segunda casilla, podemos completar fácilmente toda la tabla haciendo que se cumpla el enunciado: 6 x x + 6 2x + 6 3x + 12 5x + 18 8x + 30 13x + 48 = 2024 Entonces, la ecuación que tenemos que resolver es 13x + 48 = 2024 , cuya solución es x = 152 . El número que nos piden es el de la casilla sombreada, es decir,
16. ¿Cuántos números de tres cifras cumplen que la cifra de las decenas es igual al producto de las otras dos cifras? (1 puntos)
Retroalimentación: Examinaremos primero a una a cuál puede ser la cifra de las decenas: – Si es un 1, solo puede ser como producto de 1 \cdot 1 , habrá un número 111. – Si es un 2, solo puede ser como producto de 1 \cdot 2 , habrá dos posibilidades 211 y 112. Esto mismo ocurrirá para todos los números primos, es decir, también habrá dos posibilidades si es un 3, un 5 o un 7. – Si es un 4, puede ser como producto de 1 \cdot 4 o de 2 \cdot 2 , por tanto habrá tres posibilidades 242, 144 y 441.
17. En un bombo hay diez bolas numeradas con número par y diez con número impar. Si sacamos dos de ellas con reemplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de sus números sea par? (1 puntos)
Retroalimentación: El producto de dos números es par cuando al menos uno de ellos es par. En este caso es más sencillo comenzar calculando la probabilidad de que el producto sea impar porque eso ocurrirá solo cuando ambos números sean impares. P(\text{producto impar}) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}} = \frac{10 \cdot 10}{20 \cdot 20} = \frac{1}{4} Y ahora ya es inmediato calcular la probabilidad de que el producto sea par: P(\text{producto par}) = 1 - P(\text{producto impar}) = \frac{3}{4}
18. La suma de 30 enteros positivos consecutivos es 675. ¿Cuál es el menor de los 30? (1 puntos)
Retroalimentación: Para saber cuántos suman 30 enteros consecutivos basta colocarlos en orden y en orden inverso para luego sumarlos: S = n + (n + 1) + (n + 2) + \dots + (n + 28) + (n + 29) S = (n + 29) + (n + 28) + (n + 27) + \dots + (n + 1) + n Si sumamos columna a columna nos queda 2S = (2n + 29) \cdot 30 , así pues, tenemos \text{que } S = 15(2n + 29) = 675, \text{ de donde sacamos que } n = \frac{\frac{675}{15} - 29}{2} = 8.
19. Un polinomio $P(x)$ de grado 4 y coeficiente principal 1 tiene las raíces 1, 2, 3 y 4. ¿Cuál es la suma de todos sus coeficientes? (1 puntos)
Retroalimentación: El polinomio será de la forma P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d . Si una de sus raíces es el 1, eso significa que P(1) = 1 + a + b + c + d = 0 , por tanto la suma de todos sus coeficientes es 0.
20. En el octógono regular de la figura hemos dibujado un cuadrado. Si el lado del octógono mide 1 cm, ¿cuál es el área, en cm ^2 , del cuadrado? (1 puntos)
Retroalimentación: Llamamos r a la distancia del centro del octógono a cada uno de los vértices. El área del cuadrado será 2r^2 . El triángulo ABD es isósceles y rectángulo, por tanto, por Pitágoras sabemos que AB = BD = \frac{1}{\sqrt{2}}r . El triángulo BCD es también rectángulo, y además tenemos: BC = AC - AB = r - \frac{1}{\sqrt{2}}r.
21. El triángulo $ABC$ tiene área 832 cm ^2 . Llamamos $D$ al punto medio del lado $AB$ , llamamos $E$ al punto medio del lado $BC$ y llamamos $F$ al punto medio del segmento $AE$ . ¿Cuál es, en cm ^2 , el área del triángulo $DEF$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: El área del triángulo ABE es la mitad de la del triángulo ABC , por tener la misma altura y la base ser la mitad. Lo mismo ocurre entre el área del triángulo ABE , y el área del triángulo ADE ; y también según un razonamiento similar, el área del triángulo FDE es la mitad del área del triángulo ADE . Así pues, el área del triángulo FDE es \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 832 = 104 \text{ cm}^2 .
22. Kiwi, Tardis y Espagueti están jugando con fichas. Han empezado con 12, 11 y 10 fichas respectivamente y, en cada turno, el jugador que más fichas tiene reparte una a cada uno de los otros y descarta otra. El juego acaba cuando alguien se queda sin fichas. ¿Cuántos turnos durará la partida? (1 puntos)
Retroalimentación: Podemos hacer una tabla para ver cómo se desarrollan los primeros turnos: Kiwi Tardis Espaguetti Inicio 12 11 10 1º turno 9 12 11 2º turno 10 9 12
23. Se tiene el sistema de ecuaciones: $\begin{cases} x + 2y + 3z = 35 \\ x - 2y + 3z = 15 \\ x - 3y + 9z = 46 \end{cases}$ . Entonces $x \cdot y \cdot z$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Tenemos tres ecuaciones: E1: x + 2y + 3z = 35 E2: x - 2y + 3z = 15 E3: x - 3y + 9z = 46 Si restamos E1 - E2 obtenemos 4y = 20 , es decir, y = 5 . Si restamos E3 - E2 obtenemos -y + 6z = 31 , y por tanto, z = \frac{31+y}{6} = 6 . Por último con E1 + E2 obtenemos 2x + 6z = 50 , es decir, x = 25 - 3z = 7
24. Partiendo de un cuadrado y, ayudándonos de sus vértices y del punto medio del lado superior, hemos diseñado la figura que ves. Si para pintar la zona gris hemos necesitado 4 m ^2 de pintura, ¿cuántos m ^2 necesitaremos para colorear la zona blanca? (1 puntos)
Retroalimentación: Si nos fijamos solo en un cuarto del cuadrado de lado L , tal como se muestra en la figura, vemos que el triángulo sombreado, que tiene área 2, tiene de base L/2 , y de altura h , el segmento marcado con la línea blanca.
25. Don Retorcido os propone este último reto con raíces. Calcula: $\left(\sqrt{3+\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}\right)^4 + \left(\sqrt{3+\sqrt{2}}-\sqrt{3-\sqrt{2}}\right)^4$ (1 puntos)
Retroalimentación: Vayamos poco a poco. Primero calcularemos, usando las identidades notables: \begin{aligned} \left(\sqrt{3+\sqrt{2}}+\sqrt{3-\sqrt{2}}\right)^2 &= \left(\sqrt{3+\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\sqrt{3-\sqrt{2}}\right)^2 + 2\sqrt{3+\sqrt{2}}\sqrt{3-\sqrt{2}} = \\ &= 3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}+2\sqrt{9-2} = 6+2\sqrt{7}.