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1. Los logaritmos han venido para ayudarnos. Calcula el valor de: $\log\left(\frac{1}{2}\right)^5 + \log\left(\frac{2}{3}\right)^5 + \log\left(\frac{3}{4}\right)^5 + \dots + \log\left(\frac{99}{100}\right)^5$ (1 puntos)
Retroalimentación: Para resolver el problema tenemos que tener en cuenta que el Concurso de Primavera se celebra cada año. Primero, calculamos el año de comienzo del Concurso restando 27 al año actual 2024, año que se celebra el 27 o Concurso; después, sumamos al resultado obtenido 2024. 2024 - 27 = 1997 año del primer Concurso de Primavera. 1997 + 2024 = 4021 año del 2024 o Concurso de Primavera. En el año 4021 se celebra el 2024 o Concurso de Primavera.
2. Los números positivos $x$ e $y$ cumplen que $\left(\frac{x}{y}\right)^2 + \left(\frac{y}{x}\right)^2 = 2$ . Con estos datos, calcula el valor $\text{de } \left(\frac{x}{y}\right) + \left(\frac{y}{x}\right) + \left(\frac{x}{y}\right)^2 + \left(\frac{y}{x}\right)^2 + \left(\frac{x}{y}\right)^3 + \left(\frac{y}{x}\right)^3 + \left(\frac{x}{y}\right)^4 + \left(\frac{y}{x}\right)^4.$ (1 puntos)
Retroalimentación: El área de un cuadrado se calcula multiplicando la medida de la longitud de su lado por sí mismo; es decir, elevando al cuadrado la medida de la longitud de su lado.
3. Las soluciones de las ecuaciones $x^2 - 3ax + 2a^2 = 0$ y $x^2 - bx = 0$ son cuatro números diferentes que están en progresión aritmética. Si fijamos un valor positivo de $a$ , ¿cuál es la suma de los valores que puede tomar $b$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Las soluciones de la ecuación x^2 - 3ax + 2a^2 = 0 son a y 2a . Las soluciones de la ecuación x^2 - bx = 0 son 0 y b . Como el valor de a es positivo ( a > 0 ), existen solo dos posibilidades para que los cuatro números estén en progresión aritmética: \begin{array}{ccccccc} b, & 0, & a, & 2a & \Rightarrow & b = -a & \Rightarrow \sum b = 2a \\ 0, & a, & 2a, & b & \Rightarrow & b = 3a \end{array} Luego el área del recinto sombreado es: 8\cdot 6 - 2\cdot 17 = 48 - 34 = 14 .
4. En la figura vemos un cuadrado de lado 2; un cuarto de circunferencia; una semicircunferencia y el punto de intersección entre las dos. ¿Cuánto mide el segmento $y$ , perpendicular a un lado del cuadrado? (1 puntos)
Retroalimentación: Tomando unos ejes de coordenadas con origen en el vértice inferior izquierda del cuadrado, el segmento y es la ordenada del punto de corte de las dos circunferencias cuyas ecuaciones son: \begin{array}{l} x^2 + (y-2)^2 = 4 \\ (x-1)^2 + y^2 = 1 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{l} x^2 + y^2 - 4y = 0 \\ x^2 + y^2 - 2x = 0 \end{array} \Rightarrow x = 2y \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{8}{5} \\ y = \frac{4}{5} \end{cases}
5. La diferencia entre las áreas de dos triángulos semejantes es $18 \text{ cm}^2$ y su cociente es el cuadrado de un entero. Si el área del más pequeño, en $\text{cm}^2$ , viene dada por un número entero y uno de sus lados mide 3 cm, el lado correspondiente del triángulo mayor mide, en cm: (1 puntos)
Retroalimentación: Sea A_1 el área del triángulo menor y A_2 la del triángulo mayor. Sabemos que: A_2 - A_1 = 18 \text{ y } \frac{A_2}{A_1} = k^2, k \in \mathbb{Z} k^2 A_1 - A_1 = 18 \Rightarrow k^2 = \frac{18}{A_1} + 1 Las posibilidades son: A_1 1 2 3 6 9 18 k^2 19
6. Los números enteros $a, b, c$ cumplen la igualdad $a^2 + b^2 + c^2 + 35 = 6a - 10b + 2c$ . ¿Cuál es el valor de la suma $a + b + c$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: \begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 + 35 &= 6a - 10b + 2c; \\ a^2 - 6a + b^2 + 10b + c^2 - 2c + 35 &= 0; \\ a^2 - 6a + 9 + b^2 + 10b + 25 + c^2 - 2c + 1 &= 0; \\ (a - 3)^2 + (b + 5)^2 + (c - 1)^2 &= 0 \Rightarrow \begin{cases} a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 \\ b + 5 = 0 \Rightarrow b = -5 \\ c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1 \end{cases} \end{aligned} La suma pedida es a + b + c = -1 .
7. ¿Cuántas cifras tiene el número $20^{244}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: 20^{24} = 2^{24} \cdot 10^{24} = 2^{24} \cdot (2^{10})^2 \cdot 10^{24} = 16 \cdot 1024^2 \cdot 10^{24} = 16 \cdot 1048576 \cdot 10^{24} = 16\,777\,216 \cdot 10^{24} , que tiene 32 cifras.
8. ¿Para cuántos $n$ del conjunto $\{1, 2, 3, \dots, 614\}$ es el producto $(n^2 - n + 3)(n^2 + n + 3)$ múltiplo de 5? (1 puntos)
Retroalimentación: (n^2 - n + 3)(n^2 + n + 3) = (n^2 + 3)^2 - n^2 = n^4 + 5n^2 + 9 . Para que este número sea múltiplo de 5, basta con que lo sea n^4 + 9 , y para ello n^4 debe ser congruente con 1 módulo 5, es decir, debe terminar en 1 o en 6. Si n termina en 1, 3, 7 o 9, n^4 termina en 1, mientras que cuando n termina en 2, 4, 6 u 8, n^4 termina en 6. En cada decena hay ocho valores de n que cumplen la condición pedida. Desde 1 hasta 610 hay 61 decenas, por tanto 61 \cdot 8 = 488 valores válidos.
9. El número real $K$ es tal que la región del plano definida por $|2x| + |y| \leq K$ tiene área 250. El valor de $K$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: La región del plano que es solución de la inequación |2x| + |y| \leq k , con k > 0 está limitada por las siguientes rectas: \begin{aligned} x > 0, y > 0 &\Rightarrow 2x + y \leq k; \\ y > 0, x < 0 &\Rightarrow -2x + y \leq k; \\ x < 0, y > 0 &\Rightarrow -2x + y \leq k; \\ y > 0, x < 0 &\Rightarrow -2x - y \leq k; \\ x < 0, y < 0 &\Rightarrow -2x - y \leq k. \end{aligned} El área de la región es la de un rombo de diagonales k y 2k \Rightarrow k^2 = 250 \Rightarrow k = 5\sqrt{10} .
10. Tiramos dos dados al azar y llamamos $a$ al resultado del primer dado y $b$ al del segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que la fracción $\frac{a}{b}$ sea irreducible y menor que 1? (1 puntos)
Retroalimentación: Las posibilidades se recogen en la siguiente tabla: a \backslash b 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2
11. ¿Para qué valor de $n$ se cumple que: $(1 + i)^n = -n$ ? [Recuerda que $i^2 = -1$ ] (1 puntos)
Retroalimentación: Para que (1 + i)^n = -n , debe ser 1 + i una de las soluciones de \sqrt[n]{-n} . Es decir, escribiendo los complejos en forma polar, debe ser (\sqrt{2})_{45^\circ} una de las soluciones de (\sqrt[n]{n})_{180^\circ+360^\circ k} , para algún valor de k \in \mathbb{Z} y k \leq n - 1 . Para k = 0 , \frac{180^\circ}{n} = 45^\circ \Rightarrow k = 4 , verificándose también la igualdad de los módulos: \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} .
12. Para todo valor de $x$ se cumple que la expresión $\cos^4 x - \sin^4 x$ es igual a: (1 puntos)
Retroalimentación: \begin{aligned} \cos^4 x - \sin^4 x &= (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \\ &= \cos(2x) = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1 = \\ &= 1 - \sin^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{1} = \\ &= \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} \end{aligned} Son correctas las cuatro respuestas.
13. Escogemos al azar un número de cinco cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga al menos una cifra repetida? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea el suceso A : un número de 5 cifras elegido al azar tiene al menos una cifra repetida. La probabilidad de A es 1 menos la probabilidad de su suceso contrario, que es que el número tenga las cinco cifras diferentes, es decir: p(A) = 1 - p(\bar{A}) = 1 - \frac{9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{9 \cdot 10^4} = 1 - \frac{9 \cdot 7 \cdot 3}{5^4} = 1 - \frac{189}{625} = \frac{436}{625}
14. Del siguiente triángulo conocemos las medidas de los lados $AB = AC = 30$ . Los puntos $D, E$ y $F$ se encuentran sobre los lados $AB, BC$ y $AC$ respectivamente, cumpliendo que $DE$ es paralelo a $AC$ , y $EF$ es paralelo a $AB$ . ¿Cuánto mide el perímetro del paralelogramo $ADEF$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: El perímetro de la figura será AD + DE + AF + FE . Los triángulos BDE , EFC y BAC son semejantes, por lo que EF = FC y DE = BD . Además, es trivial que AF = DE y AD = EF . Por tanto: AD + DE + AF + FE = \underbrace{AD + DE}_{AB} + \underbrace{AF + FC}_{AC} = AB + AC = 30 + 30 = 60.
15. Si $a + b = 5$ y $a^3 + b^3 = 32$ , ¿cuánto vale $a^{-1} + b^{-1}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Si a + b = 5 y a^3 + b^3 = 32 , ¿cuánto vale a^{-1} + b^{-1} ? \begin{aligned} a^{-1} + b^{-1} &= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{5}{ab} \\ a^3 + b^3 &= a^3 + (5-a)^3 = 32 \Rightarrow 15a^2 - 75a + 93 = 0 \Rightarrow \\ a &= \begin{cases} a_1 = \frac{25 + \sqrt{5}}{10} \\ a_2 = \frac{25 - \sqrt{5}}{10} \end{cases} \Rightarrow b = \begin{cases} b_1 = \frac{25 - \sqrt{5}}{10} \\ b_2 = \frac{25 + \sqrt{5}}{10} \end{cases} \Rightarrow \\ a \cdot b &= \left(\frac{25 + \sqrt{5}}{10}...
16. Para cada entero positivo $n$ definimos la función $P(n)$ como la suma de las cifras de $n$ más el número de cifras de $n$ . Por ejemplo, $P(208) = 2 + 0 + 8 + 3 = 13$ . ¿Cuántos números $n$ hay para los que $P(n) = 5$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: En total hay 8 números que recogemos en la siguiente tabla Número de cifras n P(n) = 5 1 4 4 + 1 2 12 1+2+2 21 2+1+2
17. De lunes a miércoles vinieron 22 estudiantes de bachillerato en bicicleta. El lunes vinieron 15, el martes 12 y el miércoles 9. ¿Cuántos estudiantes como mucho pudieron haber venido los tres días en bicicleta? (1 puntos)
Retroalimentación: Sabemos que el lunes vienen 15, el martes 12 y el miércoles 9, por lo que la máxima intersección posible entre los tres días, x , se obtendrá cuando las demás regiones del diagrama sean vacías. De esta manera: 15 - x + 12 - x + 9 - x + x = 22 de donde, x = 7 . Como mucho coinciden 7 estudiantes vinieron tres días en bicicleta.
18. Observa estas tres progresiones aritméticas. ¿Cuál es la suma de las cifras del número más pequeño que se repite en las tres? (1 puntos)
Retroalimentación: Las sucesiones tienen como término general: a_n = 5n - 1 b_p = 11p - 1 c_q = 17q - 1 Los tres términos serán iguales si 5n - 1 = 11p - 1 = 17q - 1 \Rightarrow 5n = 11p = 17q Como 5, 11 y 17 son primos, se debe cumplir que n = 11 \cdot 17 \cdot k; p = 5 \cdot 17 \cdot k' \text{ y } q = 5 \cdot 11 \cdot k'' Luego el menor número que cumplirá esto será 5 \cdot 11 \cdot 17 - 1 = 934 y la suma de sus cifras es 16.
19. Tenemos un tablero de $3 \times 5$ y una ficha en una de las casillas. En cada movimiento la ficha se puede mover a una casilla contigua en horizontal o vertical, pero no en diagonal. ¿Desde cuántas casillas del tablero se puede salir y visitar todas las casillas en 14 movimientos? (1 puntos)
Retroalimentación: Es trivial que se puede empezar en cualquiera de las 4 esquinas y salir pasando por todas las casillas una sola vez (14 movimientos). Además, están los siguientes casos: (Se indica con un número los pasos dados desde la posición de salida consignada con un 0). 12 11 0 1 2 13 10 7 6 3 14 9 8 5 4
20. ¿Sabías que todos los capicúas de cuatro cifras son múltiplos de 11? Si tomamos un número capicúa de cuatro cifras al azar y lo dividimos entre 11, ¿qué probabilidad hay de obtener otro número capicúa? (1 puntos)
Retroalimentación: Un número capicúa de 4 cifras N es de la forma N = abba = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 11 \cdot (91a + 10b) 91a + 10b = 100a - 10a + 10b + a = 100a + 10(b - a) + a Se debe verificar que b - a \geq 0 \Rightarrow b \geq a y a \neq 0 .
21. María recorre todos los días un camino de la siguiente manera: el primer kilómetro lo recorre a 3 km/h, el segundo a 4 km/h, el tercero a 5 km/h y el último kilómetro a 6 km/h. ¿Cuál es, en km/h, la velocidad media de este recorrido? (1 puntos)
Retroalimentación: Tenemos la siguiente información: \text{Recorre 1 Km a 3 Km/h} \Rightarrow \text{tarda } \frac{1}{3} \text{ h} = 20 \text{ min.} \text{Recorre 1 Km a 4 Km/h} \Rightarrow \text{tarda } \frac{1}{4} \text{ h} = 15 \text{ min.} \text{Recorre 1 Km a 5 Km/h} \Rightarrow \text{tarda } \frac{1}{5} \text{ h} = 12 \text{ min.} \text{Recorre 1 Km a 4 Km/h} \Rightarrow \text{tarda } \frac{1}{6} \text{ h} = 10 \text{ min.} \text{Recorre un total de 4 Km en } 57 \text{ min} = \frac{57}{60} \text{ h, luego la ...
22. ¿Cuál es el mayor número primo que divide a: $1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - 98^2 + 99^2$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Tenemos que: 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - 98^2 + 99^2 = (1 - 2) \cdot (1 + 2) + (3 - 4) \cdot (3 + 4) + \dots + (97 - 98) \cdot (97 + 98) + 99^2 \stackrel{(*)}{=} (-1) \cdot (3 + 7 + 11 + 15 + \dots + 195) + 99^2 = (-1) \cdot 99 \cdot 49 + 99^2 = 99 \cdot (99 - 49) = 99 \cdot 50 99^2 = (-1) \cdot 99 \cdot 49 + 99^2 = 99 \cdot (99 - 49) = 99 \cdot 50 Luego el mayor primo que lo divide es 11.
23. Dados los números reales positivos $a, b$ y $c$ , sabemos que $x = \frac{a}{b+c} = \frac{b}{a+c} = \frac{c}{a+b}$ . El valor de $x$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: \frac{a}{b+c} = \frac{b}{a+c} = \frac{c}{a+b} \Rightarrow \begin{cases} a \cdot (a+c) = b \cdot (b+c) \\ a \cdot (a+b) = c \cdot (b+c) \\ b \cdot (a+b) = c \cdot (a+c) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a^2 + a \cdot c = b^2 + b \cdot c \\ a^2 + a \cdot b = c^2 + b \cdot c \\ b^2 + a \cdot b = c^2 + a \cdot c \end{cases} Restando las ecuaciones dos a dos: \begin{cases} c^2 - b^2 = a \cdot b - a \cdot c \Rightarrow \{(c-b) \cdot (c+b) = -a \cdot (c-b) \\ b^2 - a^2 = a \cdot c - b \cdot c \Righ...
24. El área de un hexágono regular mide 18 cm ^2 y el área de un triángulo equilátero 75 cm ^2 . Si el perímetro del hexágono mide $P$ metros, ¿cuántos metros mide el perímetro del triángulo? (1 puntos)
Retroalimentación: Un hexágono regular está formado por 6 triángulos equiláteros, por lo que si el área del hexágono es 18 cm 2 , el área de cada triángulo es A_T = 3 \text{ cm}^2 .Además, el perímetro de hexágono P , será 6 veces el lado del triángulo, l , de modo que P = 6l .Por otra parte, todos los triángulos equiláteros son semejantes, por lo que si otro triángulo tiene área A_{T'} , 75 cm 2 , entonces se verifica que \frac{A_{T'}}{A_T} = \frac{75}{3} = 25 = r^2 , donde r es la razón de semejanza entre los tr...
25. En un triángulo rectángulo se inscribe un triángulo equilátero como indica la figura. El área del triángulo equilátero vale: (1 puntos)
Retroalimentación: Buscamos el área del triángulo equilátero inscrito en el triángulo rectángulo. Los triángulos pequeños son semejantes y semejantes al triángulo rectángulo mayor. \text{Por semejanza se tiene que } \frac{12}{x} = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 = 36 \Rightarrow x = 6.