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1. ¡Empezamos! ¡Bien!! Calcula el valor de $2,024 \cdot 2,024 - 20,24 \cdot 0,2024 + 202,4 \cdot 0,2024 - 2024 \cdot 0,02024$ . (1 puntos)
Retroalimentación: Llamamos
2. En la heladería de la playa venden cucuruchos y bolas de helado de nata y de chocolate. La lista de precios la dan de esta curiosa manera: ¿Cuántos euros tendré que pagar por un cucurcho con tres bolas de chocolate? (1 puntos)
Retroalimentación: Comparando el primer y tercer dibujo, vemos que se diferencian en dos bolas de nata y en 3€. Así que una bola de nata cuesta 1,5€. La diferencia entre la segunda y la primera oferta es de un cucurucho y una bola de chocolate; el precio de este combinado será entonces 2,5€.
3. Si el área de un círculo de radio $r$ es $A$ , ¿cuál es la longitud de su circunferencia? (1 puntos)
Retroalimentación: El área del círculo de radio r es A = \pi r^2 y el perímetro p = 2\pi r . Como \pi r = \frac{A}{r} , el perímetro se obtiene como p = \frac{2A}{r} .
4. En un estanque hay carpas rojas y amarillas. Sabemos que $\frac{2}{5}$ del total son amarillas; $\frac{3}{4}$ de las amarillas son hembras; y hay la misma cantidad de machos que de hembras. ¿Qué fracción de carpas son machos rojos? (1 puntos)
Retroalimentación: Como estamos hablando de proporciones, podemos suponer que en el estanque viven 100 carpas. Entre ellas, hay 50 machos y 50 hembras. Sabemos que las carpas amarillas son los \frac{2}{5} del total, es decir, \frac{2 \cdot 100}{5} = 40 , con lo que 60 carpas son rojas. Sabemos que de las 40 amarillas, \frac{3 \cdot 40}{4} = 30 son hembras y 10 son machos; hay por lo tanto 40 machos rojos, lo que supone los \frac{2}{5} del total de carpas del estanque.
5. En el dibujo se ve a un cuadrado perseguido por un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el ángulo $x$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero mide 60^\circ , y los de un cuadrado 90^\circ . Los tres ángulos con vértice en A suman 180^\circ y lo mismo ocurre con los tres ángulos con vértice en B . Entonces, a = 180 - (62 + 60) = 58^\circ , b = 180 - (90 + 62) = 28^\circ . El ángulo x es exterior al triángulo ABC , luego x = a + b = 58 + 28 = 86^\circ .
6. Atención a cómo se van colocando los números en estas filas: ¿En qué fila estará colocado el número 2024? (1 puntos)
Retroalimentación: Observando la tabla, vemos que los números del 1 al 15 se colocan en las tres primeras columnas; en las tres siguientes están los números del 16 al 30, y así sucesivamente, de 15 en 15, de modo que en la primera fila están los múltiplos de 15 más 1: 1, 16, 31, 46 ...; los múltiplos de 15 menos 1: 14, 29, 44... y los múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60 ... 2025 = 15 · 135.... Como 2024 es múltiplo de 15 menos 1 (2025 - 1), estará en la primera fila.
7. Si $a, b, c$ son enteros positivos con $\text{mcm}(a, b) = 2^3$ y $\text{mcm}(b, c) = 2^4$ , ¿cuál es el $\text{mcm}(a, c)$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Como mcm (a, b) = 2^3 , deducimos que tanto a como b son potencias de 2, con exponente 3 como mucho. De la misma forma, puesto que mcm (b, c) = 2^4 , se sigue ahora que c = 2^4 , que es seguro múltiplo de a . Por lo tanto, mcm (a, c) = 2^4 .
8. La niña Centésima no para quieta. Ha recortado cuatro rectángulos de cartulina con estas medidas en cm: $1 \times 10$ , $2 \times 12$ , $3 \times 7$ , $4 \times 8$ . Después, con mucho cuidado para que todos los ángulos sean rectos, los ha colocado como ves en el dibujo. Ahora Centésima te pregunta: ¿qué área, en $\text{cm}^2$ , ocupa la zona gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Hemos colocado los cuatro rectángulos como se ve en la figura. Primero, el rectángulo de 3 \times 7 = 21 \text{ cm}^2 ; junto a él, el de 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2 . Superpuestos están los dos que faltan, de 1 \times 10 y 2 \times 12 , que comparten con los anteriores un rectángulo de 1 \times 7 = 7 \text{ cm}^2 (rejilla) y otro de 2 \times 7 = 14 \text{ cm}^2 (colmena).
9. Vamos a llamar duales a los números naturales que al dividirlos entre 3, 4, 5 o 6 nos dan como resto 2. El primer número duol es el 2, ¿cuánto suman los dos siguientes duales ? (1 puntos)
Retroalimentación: Si un entero positivo n es un duol , tendremos \begin{cases} n = 3a + 2 \\ n = 4b + 2 \\ n = 5c + 2 \end{cases} , con a, b, c enteros positivos. Así, n - 2 = 3a = 4b = 5c , es decir n - 2 es múltiplo de 3, de 4 y de 5, y lo será de 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 , que es su mínimo común múltiplo. Por tanto, n - 2 = 60k y cualquier duol se escribe como 60k + 2 para algún valor entero de k .
10. ¡Cada vez nos gustan más las potencias! Si $4^a \cdot 5^b \cdot 6^c = 8^8 \cdot 9^9 \cdot 10^{10}$ , ¿cuánto vale $a + b + c$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, expresamos los números de ambos lados de la igualdad como potencias de 2, 3 y 5, para obtener 2^{2a+c} \cdot 5^b \cdot 3^c = 2^{34} \cdot 5^{10} \cdot 3^{18} \cdot 2^{10} \cdot 5^{10} \cdot 3^{18} , es decir: 2^{2a+c} \cdot 5^b \cdot 3^c = 2^{34} \cdot 5^{10} \cdot 3^{18} . Entonces, b = 10, c = 18 y a = \frac{34-18}{2} = 8 , de modo que: a + b + c = 8 + 10 + 18 = 36 .
11. En la academia Bailaqueteibaila durante el primer trimestre el 30 % de los inscritos se apuntaron a chotis y el resto a sardanas. En el segundo trimestre el 20 % de los que bailaban chotis se pasaron a sardanas, pero el 30 % de los que bailaban sardanas se cambiaron a chotis. ¿Qué porcentaje de los inscritos está apuntado a sardanas en el segundo trimestre? (1 puntos)
Retroalimentación: Si en la academia están apuntados n bailarines, en el primer trimestre se apuntaron a chotis \frac{30n}{100} y a sardana, \frac{70n}{100} . En el segundo trimestre, en sardana hay \frac{70n}{100} + \frac{20 \cdot 30n}{100 \cdot 100} - \frac{30 \cdot 70n}{100 \cdot 100} = \frac{(70+6-21)n}{100} = \frac{55n}{100} = 0,55n , es decir, el 55% del total.
12. Don Retorcido quiere esconder su tesoro de números en cajas para que Comenúmeros no se los coma. Si guarda siete números en cada caja le quedan tres cajas vacías, pero si guarda cinco números en cada caja le quedan tres números sin guardar. ¿Cuántos números tiene don Retorcido? (1 puntos)
Retroalimentación: Don Retorcido tiene x cajas. La cantidad de números que tiene será, por una parte 7(x - 3) , y por otra 5x + 3 . Igualando ambas expresiones tenemos la ecuación 7(x - 3) = 5x + 3 de donde x = 12 , así que Don Retorcido tiene 12 cajas para guardar 7 \cdot (12 - 3) = 63 números.
13. ¿Cuántos números capicúas de nueve cifras pueden formarse empleando exactamente 2 doses, 3 treses y 4 cuatros? (1 puntos)
Retroalimentación: La clave está en darse cuenta de que la cifra central debe ser un 3. Como los números son capicúas basta con escribir las cuatro primeras cifras que podemos elegir entre 1 dos, 1 tres y 2 cuatros: 2344 2434 2443 3244 3424 3442 4234 4243 4324 4342 4423 4432 Total hay doce capicúas: 23443432, 24343432, ...
14. La niña Centésima se propone colorear de negro cuatro de las dieciséis casillas blancas de un tablero de $4 \times 4$ de modo que en cada fila y en cada columna haya exactamente una casilla negra. Pero se impone la condición de que no puede haber dos casillas negras tocándose, ni siquiera por una esquina. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo? (1 puntos)
Retroalimentación: Solo hay dos posibles formas de colorear el tablero con los requisitos que tiene la niña Centésima. Las dos formas posibles son las siguientes: A 4x4 grid with some cells shaded grey. The shaded cells are at (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4). A 4x4 grid with some cells shaded grey. The shaded cells are at (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2).
15. En la fiesta del verano once amigos se comieron quince melones. Partieron algunos melones en seis rodajas y otros en ocho rodajas. Si todos los amigos comieron la misma cantidad de rodajas, ¿cuántas rodajas comió cada amigo? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea k el número de rodajas que se come cada amigo y x el número de melones que se parten en 6 rodajas. Como hay 15 melones, el número de melones que se parten en 8 rodajas es 8 - x . Por tanto: 11k = 6x + 8(15 - x) \rightarrow 11k = 6x + 120 - 8x \rightarrow 11k = 2(60 - x) Teniendo en cuenta esto, sabemos que el número de rodajas k que come cada amigo es un número par. Sea, por tanto, k = 2a .
16. Carmen se ha inventado esta fórmula: $C = \frac{A \cdot (R - M)}{E + N}$ Si $C = -2$ , $A = 6$ , $R = 2$ , $E = -20$ , $N = 5$ , ¿cuál es el valor de la $M$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: \text{ Sustituyendo los valores de las letras en la igualdad } C = \frac{A \cdot (R-M)}{E+N}, \text{ se tiene que:} -2 = \frac{6 \cdot (2-M)}{-20+5} \rightarrow 30 = 12 - 6M \rightarrow M = -3.
17. ¿Cuánto vale esta curiosa suma: $1 + 5 + 2 + 5 + 3 + 5 + \dots + 54 + 5 + 55 + 5$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: \text{ La suma pedida es la suma de los 55 primeros números naturales más 55 "cincos":} 1 + 2 + \dots + 54 + 55 + 55 \cdot 5 = \frac{(1 + 55) \cdot 55}{2} + 55 \cdot 5 = 1815
18. La niña Centésima tiene cuadrados de cartulina de lados 1, 2, 3 y 4 cm y con varios de ellos ha formado esta sorprendente figura que ves. Llega don Retorcido, que no pierde la ocasión, y le pide que calcule el perímetro, en cm, de su construcción. ¡Diselo tú! (1 puntos)
Retroalimentación: \text{ El perímetro de la figura, en centímetros, es:} P = 1 \cdot 3 + (2 - 1) \cdot 2 \cdot 2 + (3 - 2) \cdot 2 \cdot 3 + (2 - 1) \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 6 + (4 - 3) \cdot 4 \cdot 3 = 36
19. Se tiran dos dados a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de sus dos resultados sea mayor que 19? (1 puntos)
Retroalimentación: \text{ Hagamos una tabla con los posibles productos de los resultados de los dados:} 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2
20. En la figura ves un triángulo rectángulo sobre el que descansa un rectángulo que, a su vez, tiene en su interior un triángulo sombreado. ¿Qué área, en m ^2 , tiene dicho triángulo sombreado? (1 puntos)
Retroalimentación: \text{ En el triángulo rectángulo de la figura,} llamamos x e y a las longitudes que se marcan: El triángulo inferior de la izquierda y el triángulo superior de la derecha son semejantes ya que sus ángulos son iguales. Entonces: \frac{y}{12} = \frac{10}{x} \rightarrow xy = 120 El triángulo sombreado tiene por base x y por altura y . Su área es \frac{xy}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ m}^2 .
21. Alba y Belén han resuelto la mitad de sus ejercicios de matemáticas por separado y la otra mitad juntas. Alba tiene un porcentaje de acierto del 92 % en los ejercicios que ha hecho ella sola y del 94 % en el total. Belén tiene un porcentaje de acierto del 84 % en los que ha hecho ella sola, ¿cuál es su porcentaje total de aciertos? (1 puntos)
Retroalimentación: \text{ Podemos suponer que las amigas resuelven 50 problemas por separado y 50 juntas. Podemos formar esta tabla con los aciertos según los datos del enunciado:} SOLAS [50 problemas] JUNTAS [50 problemas] TOTAL [100 problemas] Alba 46 [92% de 50] 94 Belén 42 [84% de 50] Las casillas que faltan las podemos rellenar fácilmente sabiendo que el problemas que resuelven juntas obtienen los mismos aciertos:
22. Don Retorcido retuerce los números de esta manera: si tú le dices un número, él multiplica el anterior y el posterior y te da el resultado. Así, si le dices 5, él lo retuerce a $4 \cdot 6 = 24$ . ¿Cuál de estos números no es el resultado de un retorcimiento de don Retorcido? (1 puntos)
Retroalimentación: \text{ Cuando don Retorcido recibe un número, multiplica el anterior por el posterior y lo devuelve. Por tanto, si don Retorcido recibe el número } n \text{ hace la siguiente operación: } (n+1)(n-1) = n^2 - 1. De esta manera, cuando sumamos 1 a un número de don Retorcido, siempre debe dar un cuadrado perfecto.
23. Decimos que un número es descendente si sus cifras son distintas y van decreciendo de izquierda a derecha. Por ejemplo, 7542 es descendente pero 7742 y 7561 no lo son. ¿Cuántos números descendentes de nueve cifras hay? (1 puntos)
Retroalimentación: Si llevamos un orden no es difícil encontrar los números descendentes de nueve cifras: 987654321 987654320 987654310 987654210 987653210 987643210 987543210 986543210 976543210 876543210. Por tanto, hay 10 números descendentes de 9 cifras.
24. En este cuadrado están escritos los números del 1 al 9 cumpliendo esta regla: los cuatro números que comparten vértice siempre suman 20. ¿Qué número hay en la casilla superior izquierda? (1 puntos)
Retroalimentación: El 2 y el 6 deben estar obligatoriamente con el 5 y 7 para sumar 20: 5 6 2 7 5 2 6 7
25. En mi instituto hay más de 750 estudiantes y menos de 1050 y se ofrecen tres actividades extraescolares. El 57 % juega al ajedrez; de estos, los $\frac{5}{6}$ tocan el piano; y de estos últimos, el 75 % hace senderismo. ¿Cuántos estudiantes practican las tres actividades? (1 puntos)
Retroalimentación: La fracción de estudiantes que practican las tres actividades (ajedrez, piano y senderismo) es: \frac{57}{100} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{75}{100} = \frac{57}{160} . Como la fracción \frac{57}{160} es irreducible y el número de estudiantes tiene que ser natural, el número de estudiantes tendrá que ser un múltiplo de 160 comprendido entre 750 y 1050. El único múltiplo de 160 con estas condiciones es 5 \cdot 160 = 800 .