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1. Don Retorcido tiene 150 cartulinas para sus trabajos manuales. En un despiste llega Comenúmeros y corta algunas de esas cartulinas en diecisiete trozos cada una. Cuando vuelve don Retorcido se encuentra con 1510 trozos, entre cartulinas enteras y trozos más pequeños. ¿Cuántas cartulinas quedaron intactas? (1 puntos)
Retroalimentación: Llamamos n a las cartulinas que rompió en 17 pedazos. Entonces dejó 150 – n cartulinas enteras, y así se encontró al final con 17n + 150 - n = 1510 papeles. Es decir que n = 1360 : 16 = 85 . Luego quedaron 65 cartulinas enteras.
2. El año pasado mi zumo favorito era de 250 ml. Este año, el mismo zumo es de 200 ml pero el precio no ha cambiado. ¿En qué porcentaje ha aumentado el precio por ml de mi zumo favorito? (1 puntos)
Retroalimentación: Si el bote de zumo costaba el año pasado x euros, el litro salía a 4x . Ahora el litro sale a 5x , luego el litro ha subido un 25%, igual que el mililitro.
3. Seis gatos y seis perros van al cine y compran las doce butacas de una fila. Según las normas gatunas los seis gatos tienen que sentarse juntos. ¿Cuál es la probabilidad de que los seis perros también se sienten juntos? (1 puntos)
Retroalimentación: Como los seis gatos tienen que sentarse juntos, podemos considerar que sus seis asientos forman una única butaca. Así, las formas de sentarse son las de seis asientos (los de los perros) y una butaca en fila. La butaca puede ocupar: el primer puesto; el segundo; ... ; el séptimo. Los perros solo se sentarán juntos cuando la butaca esté en el primer o en el séptimo puesto, luego la probabilidad de que esto ocurra es de \frac{2}{7} .
4. Ana, Bea y Celia son tres amigas. Ana tiene piedras pero Bea y Celia no. Comienza este reparto: Ana da a Bea las tres cuartas partes de sus piedras; Bea da a Celia la mitad de sus piedras y dos piedras más; Celia da a Ana algunas piedras. Al final las tres amigas tienen el mismo número de piedras. ¿Cuántas piedras dio Celia a Ana? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea n el número de piedras de Ana. Ella empieza dando \frac{3n}{4} a Bea y se queda con \frac{n}{4} de piedras. Después Bea da a Celia la mitad de sus piedras y dos más, es decir le da \frac{3n}{8} + 2 piedras, y se queda con \frac{3n}{8} - 2 . Por último, Celia da m piedras a Ana, de forma que ahora las tres tienen el mismo número de piedras.
5. Irene ha calculado la media de las calificaciones obtenidas en los controles que ha realizado este curso. Se ha dado cuenta de que, si en cada uno de los dos próximos obtuviese una puntuación de 9 puntos, su media subiría un punto. Y, en cambio, si sacase 9 puntos en cada uno de los cuatro siguientes, su media subiría un punto y medio. ¿Cuál es su media actual? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea n el número de controles que ya ha hecho y \bar{x} la media de esos n controles. Así la suma de las notas de esos controles es n \cdot \bar{x} . Si en los dos próximos sacara un 9 en cada uno, tendríamos según el enunciado que \frac{n \cdot \bar{x} + 18}{n+2} = \bar{x} + 1 , y si sacara un 9 en cada uno de los cuatro siguientes, \frac{n \cdot \bar{x} + 36}{n+4} = \bar{x} + 1,5 .
6. En la figura tenemos un triángulo equilátero de 2 cm de lado y su circunferencia inscrita. ¿Cuánto mide, en $\text{cm}^2$ , el área sombreada? (1 puntos)
Retroalimentación: Para hallar el área de la zona sombreada deberemos restar al área del triángulo el área del círculo. Como el triángulo es equilátero, su incentro es también su baricentro, y por tanto divide a su mediana (que es a la vez altura) en la proporción 2:1. Así resulta que el radio es un tercio de la altura. Como el lado es 2, la altura vale h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} .
7. El producto de las soluciones enteras de la ecuación $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Las soluciones de la ecuación bicuadrada 4x^4 - 17x^2 + 4 = 0 verifican que x^2 = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{8} = \frac{17 \pm 15}{8} . Las raíces son -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 2 y -2 . El producto de las raíces enteras es -4 .
8. Sara colecciona canicas, todas ellas de igual tamaño. Por ahora ha conseguido 20 rojas, 21 blancas, 22 verdes, 23 azules y 24 negras. Para el juego de hoy necesita cuatro canicas de diferente color. Si empieza a sacar canicas al azar, ¿cuál es el número mínimo de canicas que tiene que coger para asegurarse de que habrá cuatro de diferente color? (1 puntos)
Retroalimentación: Para encontrar cuatro bolas de colores distintos lo peor que puede pasar es que primero hayamos cogido 24 bolas negras, 23 azules, y 22 verdes. La siguiente bola que cojamos debe ser de un color distinto. Luego sacando 70 bolas tendremos cuatro de color distinto.
9. El resultado de la resta $3,420 - 1,383$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Una fracción generatriz de 3,420 es \frac{3420-3}{999} = \frac{3417}{999} , y \frac{1383-1}{999} = \frac{1382}{999} lo es de 1,383. Así la resta de ambas fracciones es \frac{2035}{999} , que puede ser simplificada dividiendo numerador y denominador por 37, quedando como \frac{55}{27} .
10. En un montón de cuatro cartas boca abajo tenemos dos oros y dos copas. Cogemos al azar dos de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos copas? (1 puntos)
Retroalimentación: Las formas de elegir dos cartas de entre cuatro sin importar el orden son \binom{4}{2} = 6 , Y solamente una las formas de elegir dos cartas de entre dos. Luego la probabilidad de sacar las dos copas es \frac{1}{6} .
11. En el cuadrado $ABCD$ , de un centímetro de lado, inscribimos un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura. ¿Cuánto vale, en $\text{cm}^2$ , el área del triángulo sombreado $ADF$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Es importante darse cuenta que los triángulos ABE y ECF son semejantes, ya que ambos son rectángulos, y sus ángulos en E son complementarios. Como sus hipotenusas son a su vez los catetos del triángulo "cartabón" AEF , la proporción entre ellas es de \sqrt{3} . Si llamamos x = \overline{FC} , e y = \overline{EB} , tendremos también que \frac{y}{x} = \sqrt{3} , luego x = \frac{y}{\sqrt{3}} .
12. Si $a + b = 4$ y $a^2 + b^2 = 12$ , ¿cuál es el valor de $a^4 + b^4$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Si a + b = 4 , entonces (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 16 , y como a^2 + b^2 = 12 , se tiene que ab = 2 . Así (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 = a^4 + 4ab(a^2 + b^2) + 6(ab)^2 + b^4 = a^4 + b^4 + 8 \cdot 12 + 24 = 256 , de donde a^4 + b^4 = 136 .
13. En una fiesta de veinte personas hay cinco que se conocen entre sí y quince que no conocen a nadie. Las personas que se conocen se saludan con un abrazo, y las que no se conocen con un apretón de manos. Si todas las personas de la fiesta se saludaron, ¿cuántos apretones de manos hubo? (1 puntos)
Retroalimentación: En total hubo \frac{20 \cdot 19}{2} = 190 saludos, ya que cada persona saludó a las otras diecinueve, y un saludo concierne a dos personas. Las cinco personas que se conocen se saludaron con \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 abrazos y el resto, 180, fueron apretones de manos.
14. Construimos la sucesión 1, -2, 3, -4, 5, ... ¿Cuál es la media de los 2024 primeros términos? (1 puntos)
Retroalimentación: Primer método La serie está formada al intercalar dos progresiones aritméticas de diferencias 2 y -2 . La primera empieza en 1 y acaba en 2023. Consta de 1012 términos y su media es \frac{1+2023}{2} = 1012 (la semisuma del primero más el último). Análogamente la segunda empieza en -2 y acaba en -2024 , y está también formada por 1012 términos. Tiene por media \frac{-2-2024}{2} = -1013 .
15. La niña Centésima tenía que multiplicar 66 por el decimal periódico $1,\overline{ab}$ ; donde $a$ y $b$ son sus cifras decimales. La pobre se ha equivocado y lo ha multiplicado por el decimal exacto $1,ab$ . Cuando se ha dado cuenta del error ha visto que el resultado le ha salido una décima menos que si lo hubiese hecho bien. ¿Cuánto vale la suma $a + b$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Tenemos que 1, \overline{ab} - 1, ab = 1 + \frac{ab}{99} - 1 - \frac{ab}{9900} = \frac{ab}{99} - \frac{ab}{9900} . Si esta diferencia la multiplicamos por 66 nos queda 66 \cdot \frac{ab}{9900} = \frac{6 \cdot ab}{900} = 0,1 . Por tanto 6 \cdot ab = 90 , de forma que ab = 15 ( a = 1; b = 5 ). [Tenemos que entender en todo el proceso que ab es una forma de escribir 10a + b , y no el producto de a por b .]
16. Alba está tirando monedas a una fuente rectangular que mide $6 \times 12$ metros. Después de tirar unas cuantas calcula el área de los triángulos cuyos vértices son las monedas. ¿Cuál es el menor número de monedas que debe lanzar para asegurarse de que hay algún triángulo con un área menor o igual a $18 \text{ m}^2$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Como en el enunciado no se especifica el tamaño de las monedas, y se usan como vértices, nos referiremos a ellas como puntos. Si cogemos cuatro monedas y las colocamos en los vértices del rectángulo de la fuente, los triángulos formados por tres de ellas tendrán por área \frac{6 \cdot 12}{2} = 36 \text{ m}^2 .
17. Si $x = \frac{a}{b}$ con $b \neq 0$ y $a \neq b$ , ¿cuánto vale $\frac{2a+b}{b-2a}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Si en la expresión \frac{2a+b}{b-2a} dividimos arriba y abajo por b , nos queda \frac{\frac{2a}{b}+1}{1-2\frac{a}{b}} , y sustituyendo x = \frac{a}{b} , obtenemos \frac{2x+1}{1-2x} .
18. Si todos los ángulos de la figura son rectos, ¿cuánto mide su perímetro? (1 puntos)
Retroalimentación: La base de la figura se obtiene con la suma 4 + 5 = 9 y la altura con 3 + 3 + 2 + 2 = 10 . Para el perímetro deberemos añadir a las dos bases (9 + 9) la proyección vertical de las escaleras que cubren la base inferior, y además la longitud del retranqueo (4 + 5) , que se solapa con esa proyección. Por último la longitud de los tramos verticales coinciden con la suma de las dos alturas. El perímetro es 18 + 9 + 9 + 20 = 56 . A diagram of a stepped polygon.
19. ¿Para cuántos números enteros $k$ el valor absoluto $|k^2 + 4k - 5|$ es un número primo? (1 puntos)
Retroalimentación: k^2 + 4k - 5 = k^2 + 4k - 4 - 1 = k^2 - 1 + 4(k - 1) = (k - 1)(k + 5) , es decir esta expresión es el producto de (k - 1) y (k + 5) , luego para que ese resultado sea primo en valor absoluto, debe ocurrir que |k - 1| = 1 , o que |k + 5| = 1 , es decir k = 2 , k = 0 , o bien k = -4 , k = -6 . Para estos cuatro valores de k la expresión en valor absoluto vale respectivamente 7, 5, 5, 7.
20. El triángulo $ABC$ es rectángulo en $C$ . La altura $CR$ y la mediana $CM$ dividen en tres partes iguales al ángulo $C$ . Si el área del triángulo $CRM$ vale $k$ , ¿cuál es el área del triángulo $ABC$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Como la altura CR y la mediana CM dividen el ángulo recto en tres partes iguales, el triángulo recto CRM tiene un ángulo de 60^\circ en M , y así resulta que el ángulo en B es de 60^\circ y el de A es 30^\circ . Por lo tanto, CBM es equilátero y su área es 2k , y tiene igual área que AMC , ya que comparte la altura CR y su base AM es igual a MB
21. Si $a$ y $b$ cumplen que su producto $ab < 0$ , entonces la recta $y = ax + b$ no puede pasar por el punto: (1 puntos)
Retroalimentación: Como ab < 0 , se tiene que: o bien la recta y = ax + b tiene inclinación a positiva y corte b , con el eje OY , negativo; o bien tiene inclinación a negativa y corte b , con el eje OY , positivo.
22. De una sucesión sabemos que su primer término es el 0 y su segundo el 1. También sabemos que los términos siguientes son el resto que obtenemos al dividir la suma de los dos anteriores entre 8. ¿Qué término ocupa la posición 2024? (1 puntos)
Retroalimentación: Siguiendo la formación de la sucesión, esta comienza así: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 0, 5, 5, 2, 7, 1, 0, 1, 1, ... Vemos pues, que después de doce términos la serie se repite. Al dividir 2024 entre 12, nos da de resto 8, y por lo tanto el octavo término, 5, es también el que ocupa la posición 2024.
23. Rotamos el cuadrado $ABCD$ alrededor de su centro hasta obtener el cuadrado $EFGH$ . Si el ángulo $EAB$ mide $35^\circ$ , ¿cuánto hemos rotado el cuadrado original? (1 puntos)
Retroalimentación: Como el ángulo EAB mide 35^\circ , y el ángulo BAO 45^\circ , el ángulo EAO es de 80^\circ . Dado que el triángulo AOE es isósceles, se tiene que el ángulo AOE mide 20^\circ .
24. En una urna tenemos diez bolas numeradas del 1 al 10. Extraemos cuatro bolas una a una y sin reemplazamiento y vamos sumando los resultados que obtenemos. ¿Cuál es la probabilidad de que en algún momento esta suma sea igual a 6? (1 puntos)
Retroalimentación: Las formas de sacar cuatro números de entre diez distintos, sin repetición, son 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040 . Podemos sacar un 6 de primeras de 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 formas; o con dos números obtener la suma seis con un 1 y un 5 y con un 2 y un 4 (cada uno de los dos casos con 2 \cdot 8 \cdot 7 = 112 formas); o con tres números sacar la suma seis con el 1, 2 y 3, de 6 \cdot 7 = 42 formas.
25. En el trapezio $ABCD$ los lados $AB$ y $CD$ son paralelos, $BC = CD$ y la diagonal $BD$ es perpendicular al lado $AD$ . Sea $O$ el punto medio de la diagonal $BD$ y $P$ el punto de intersección de las diagonales del trapezio. Si $OP$ mide 8 cm, ¿cuánto mide, en cm, la diagonal $BD$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Dibujamos la paralela media del trapecio. Los cortes de esta con las diagonales son O y Q . Q es el centro del paralelogramo AMCD , y por tanto QO mide la mitad de DC . Los triángulos QOP y CDP son semejantes y por tanto \frac{8}{PD} = \frac{QO}{DC} = \frac{1}{2} , luego PD = 16 y DO = 24 . Como O es el punto medio de DB , este segmento mide 48.