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1. Sol ha tenido seis exámenes bastante complicados. La nota media del Ex1 y Ex2 ha sido 5,7; del Ex2 y Ex3 5,8; del Ex3 y Ex4 5,5; del Ex4 y Ex5 6,2; y del Ex5 y Ex6 6,8. ¿Cuál ha sido la nota media de Sol de esos seis exámenes? (1 puntos)
Retroalimentación: Podemos utilizar la primera media para saber que Ex_1 + Ex_2 = 11,4 , la tercera para saber que Ex_3 + Ex_4 = 11 y la quinta para saber que Ex_5 + Ex_6 = 13,6 . Con esto podemos saber que la suma de las notas de los seis exámenes es 36 y, por tanto, su media es 6.
2. Tenemos las nueve cifras no nulas $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ que cumplen: $\boxed{a \cdot b \cdot c = c \cdot d \cdot e = e \cdot f \cdot g \quad a < b \quad c < e \quad f < g}$ ¿Cuál es el valor de la suma $f + i + c + h + a$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Sabemos que en las igualdades no podemos usar el 5 ni el 7 porque en las igualdades no hay ninguna letra que se repita en las tres multiplicaciones. Por tanto, el 5 y el 7 son las letras h, i . El objetivo ahora es que en cada producto obtengamos 2^3 \cdot 3^2 para poder utilizar el 8 y el 9. Además, el producto del centro debe repetir una cifra con el primero y con el segundo.
3. En la figura se ven dos torres a la misma distancia de una pared. Iluminadas por el sol, la torre de 4 m de altura proyecta una sombra de 6 m de longitud sobre el suelo y la torre más alta reparte su sombra entre los 12 m que arroja sobre el suelo y los 6 m que sube por pared. ¿Qué altura, en metros, tiene la torre más alta? (1 puntos)
Retroalimentación: Como la luz viene de un punto infinito (el Sol) la distancia en la pared vertical coincide con la distancia real de la torre. Con esto, podemos plantear una proporción entre la parte de la primera torre que proyecta sombra en el suelo y la segunda torre. \frac{x - 6}{12} = \frac{4}{6} Obteniendo que x = 14 .
4. Un problema con letras. Si $a$ amigas podan un jardín de $b$ m ^2 en $c$ días, ¿cuántos días tardarían $d$ amigas en podar un jardín de $e$ m ^2 ? (1 puntos)
Retroalimentación: Tenemos una proporción compuesta donde los metros cuadrados son directamente proporcionales al tiempo que tardan y el número de personas es inversamente proporcional. Por tanto, siendo x el número de días buscado, tenemos que: \frac{c}{c} = \frac{b}{e} \cdot \frac{d}{a} \rightarrow x = \frac{cea}{bd} = \frac{ace}{bd}
5. Con ayuda de un pentágono regular hemos dibujado una estrella de cinco puntas de área 60. ¿Qué área tiene el trapecio sombreado? (1 puntos)
Retroalimentación: Trazando la diagonal punteada de la figura podemos ver que la parte del pentágono pequeño sombreada está formada por un triángulo que parece igual que una de las puntas de la estrella y otro triángulo igual que el sin sombrear. Si confirmamos la igualdad del triángulo (1) con la punta de la estrella tendremos que el área sombreada es igual que la sin sombrear, y, por tanto, mide 30.
6. Se tiene el sistema de ecuaciones $\begin{cases} x + y + z + t = 14 \\ x - y + z - t = 2 \\ x + 2y + 4z + 8t = 41 \\ x - 2y + 4z - 8t = -7 \end{cases}$ . El producto $x \cdot y \cdot z \cdot t$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Resolvemos el sistema de ecuaciones de la siguiente forma: \begin{cases} x + y + z + t = 14 \\ x - y + z - t = 2 \\ x + 2y + 4z + 8t = 41 \\ x - 2y + 4z - 8t = -7 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} E1 + E2: 2x + 2z = 16 \\ E3 + E4: 2x + 8z = 34 \\ E1 - E2: 2y + 2t = 12 \\ E3 - E4: 4y + 16t = 48 \end{cases} Y con esto obtenemos dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver por separado simplificando y restando las ecuaciones.
7. En un bombo hay diez bolas numeradas con número par y diez con número impar. Sacamos dos de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus números sea par? (1 puntos)
Retroalimentación: Separando los sucesos como obtener bola par y obtener bola impar tenemos cuatro opciones diferentes: Obtener par y par con probabilidad \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{19} . Obtener par e impar con probabilidad \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{19} . Obtener impar y par con probabilidad \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{19} . Obtener impar e impar con probabilidad \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{19} . Para que la suma sea par nos sirven el primer y último caso, que sumados dan \frac{9}{19} .
8. Don Retorcido ha multiplicado dos números de tres cifras y ha anotado el resultado: 123 453. Luego le ha intrigado el resultado, pero no se acordaba de los factores. Recordaba que los había apuntado en una libreta y, cuando la ha encontrado, ha visto que Comenúmeros se había zampado los números de en medio, y solo sabe que eran 3?? y 3?9. ¿Cuánto suman los números desaparecidos? (1 puntos)
Retroalimentación: El número 123 453 es divisible entre once por lo que uno de sus factores debe serlo. Utilizando el criterio del 11 vemos que 3?7 no puede serlo, ya que la cifra desconocida debería valer 10. Para que 3?9 sea divisible entre 11 la cifra desconocida debe ser 1 y dividiendo 123 453:319 = 387 podemos averiguar que la suma de las cifras vale 1 + 8 = 9 .
9. Si $2f(x) + f(1-x) = x^2$ para cualquier valor real de $x$ , entonces $f(x)$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Vamos a resolver este problema probando las posibles soluciones dentro de la ecuación de la función 2f(x) + f(1-x) = x^2 . Como al sumar los resultados de las funciones deben anularse los términos independientes podemos descartar las opciones A, B y C ya que en la A f(1-x) no tiene término independiente para anular el de f(x) y en las otras dos opciones los términos independientes de f(x) y de f(1-x) son positivos, no pueden anularse al sumarse.
10. En el dodecágono regular de la figura hemos inscrito un cuadrado. Si el lado del dodecágono mide 1 cm, ¿cuál es el área, en cm ^2 , del cuadrado? (1 puntos)
Retroalimentación: Podemos dividir el lado del cuadrado en tres trozos como indica la figura. El del centro es igual al lado del dodecágono y los de los laterales son iguales y forman parte de un triángulo rectángulo con ángulos de 60^\circ y 30^\circ ya que el ángulo del dodecágono es de 150^\circ .
11. Sabiendo que $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 10^2 = 385$ , ¿cuál es la suma de todos los productos de dos números enteros diferentes desde el 1 al 10? (1 puntos)
Retroalimentación: Sabiendo que (1 + \dots + 10)^2 = 1^2 + \dots + 10^2 + \text{el doble de los productos cruzados} y que (1 + \dots + 10)^2 = 55^2 = 3025 podemos obtener que el doble de la suma de los productos cruzados es 2640 y que la suma buscada es 1320
12. Doblamos una hoja cuadrada $ABCD$ de lado 1 de forma que el vértice $C$ vaya a parar al punto $E$ en el lado $AD$ . Si $DE$ mide $x$ , ¿cuánto mide $DF$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Como DF y EF provienen del lado derecho del cuadrado deben sumar 1 por lo que EF = 1 - DF . Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo EDF obtenemos que: x^2 + DF^2 = (1 - DF)^2 = 1 - 2DF + DF^2 Y despejando DF obtenemos DF = \frac{1-x^2}{2} .
13. Los números positivos $a, b$ y $c$ están en progresión geométrica y los sistemas $\begin{cases} x - y = a \\ x + 2y = a + c \end{cases}$ y $\begin{cases} 4y - x = a + b \\ 2x + y = 18 \end{cases}$ tienen la misma solución. El valor de $a + b + c$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Llamamos E1 a la primera ecuación del primer sistema, E2 a la segunda, E3 a la primera del segundo sistema y E4 a la segunda ecuación del segundo sistema. Sumando E1 + E2 obtenemos 2x + y = 2a + c = 18 gracias a E4 . Sumando E2 + E3 obtenemos 6y = 2a + b + c = 18 + b gracias a lo obtenido con la anterior suma.
14. En un octógono regular inscribimos el triángulo isósceles de la figura. Si el lado del octógono mide 2 cm, el área, en cm ^2 , del triángulo es: (1 puntos)
Retroalimentación: Añadamos tres segmentos punteados entre algunos vértices del octógono, como en la figura, para ayudarnos en el cálculo del área del triángulo. Gracias a estas líneas tenemos el octógono dividido en un cuadrado, cuatro rectángulos iguales y cuatro triángulos rectángulos e isósceles iguales. El lado del cuadrado, el lado mayor de los rectángulos y la hipotenusa de los triángulos coinciden con el lado del octógono, luego miden 2 cm.
15. Siendo $i$ la unidad imaginaria ( $i^2 = -1$ ), $1 + i + i^2 + \dots + i^{2024}$ es igual a: (1 puntos)
Retroalimentación: Calculemos las primeras potencias de la unidad imaginaria para ver si apreciamos algún patrón: i^0 = 1 , i^1 = i , i^2 = -1 , i^3 = -i , i^4 = 1 ... Es claro que las potencias de la unidad imaginaria son cíclicas con período 4. Además, la suma de las potencias en cada ciclo es i - 1 - i + 1 = 0 . Tenemos que sumar las potencias de la 0 a la 2024, luego habrá 2024/4 = 506 ciclos completos entre las potencias de la 1 a la 2024 que sumarán 0 y nos sobrará i^0 = 1 .
16. De los siguientes números, ¿cuál tiene más divisores? (1 puntos)
Retroalimentación: Dado un número x = p_1^{n_1} \cdot p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k} descompuesto en k factores primos p_i de manera que cada uno aparece n_i veces en la descomposición, el número de divisores de x es (n_1 + 1) \cdot (n_2 + 1) \cdots (n_k + 1) ya que, para enumerar los divisores de x , debemos considerar todas las potencias posibles de sus factores primos combinadas entre sí y para cada primo p_i disponemos de n_i + 1 potencias posibles: p_i^0, p_i^1, \dots, p_i^{n_i} .
17. Alargando los lados del triángulo $ABC$ de la figura construimos el $A'B'C'$ . Si sabemos que $AC = AC'$ , $BA = BA'$ y $CB = CB'$ , ¿cuál es el cociente entre las superficies $\frac{S_{A'B'C'}}{S_{ABC}}$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: Añadamos los tres segmentos discontinuos AB' , BC' y CA' , como en la figura, para ayudarnos en el cálculo del cociente entre las superficies. Los triángulos ABC y BA'C tienen misma altura por el vértice común C y sus bases miden lo mismo ya que BA = BA' . Por tanto, sus superficies coinciden y se tiene que S_{ABC} = S_{BA'C} . De manera análoga, se deduce que S_{ABC} = S_{CB'A} = S_{AC'B} usando, respectivamente, que CB = CB' y AC = AC' .
18. Sabiendo que $f(3x - 1) = 2x^2 + x + 1$ , ¿cuánto vale $f(f(5))$ ? (1 puntos)
Retroalimentación: En primer lugar, obtengamos f(5) . Es sencillo ver que, si 5 = 3x - 1 , entonces x = 2 , luego f(5) = 2 \cdot 2^2 + 2 + 1 = 11 . Ya estamos en disposición de calcular f(f(5)) = f(11) . Para ello, démonos cuenta de que, si 11 = 3x - 1 , entonces x = 4 , luego f(11) = 2 \cdot 4^2 + 4 + 1 = 37 que es el resultado buscado. Alternativamente, se puede realizar el cambio de variable y = 3x - 1 .
19. Tenemos dos cuadrados colocados como se indica en la figura. Sabemos que el área del cuadrado pequeño es $8 \text{ cm}^2$ . La longitud, en cm, del segmento marcado con $x$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Identifiquemos los cuatro puntos A , B , C y D y añadamos el segmento discontinuo AC , como en la figura, para ayudarnos con el cálculo de la longitud del segmento x . Además, extendemos el segmento BC hasta intersecar el lado del cuadrado grande en E y denotamos por l el lado del cuadrado pequeño. En torno al punto C hay 360^\circ que podemos descomponer en tres ángulos: dos ángulos iguales \overline{BCA} = \overline{DCA} y el ángulo recto \overline{BCD} = 90^\circ .
20. Transformamos el punto $A(4, 2)$ en el punto $B(b_1, b_2)$ girándolo $30^\circ$ alrededor del origen en sentido antihorario. La primera coordenada del punto $B$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Para describir una rotación del plano de \alpha grados alrededor del origen en sentido antihorario, podemos usar una matriz de rotación definida como \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} . En concreto, en este caso \alpha = 30^\circ , luego la matriz resultante es \begin{pmatrix} \sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 \end{pmatrix} .
21. El lado de los dos cuadrados de la figura mide 1. El área del rectángulo inclinado mide: (1 puntos)
Retroalimentación: Claramente, el triángulo ABC mide la mitad que el rectángulo formado por los dos cuadrados de lado 1. Además, este triángulo tiene área la mitad de la base AC por la altura por el vértice B que coincide con la longitud del segmento CD , por lo que el triángulo ABC mide también la mitad que el rectángulo inclinado. Concluimos así que el área del rectángulo inclinado mide lo mismo que el área del rectángulo formado por los dos cuadrados de lado 1, es decir, 2.
22. Un guepardo corre a $90 \text{ km/h}$ mientras que un caracol necesita 20 horas para recorrer un kilómetro. Si el guepardo corre durante 18 segundos, ¿cuántas horas necesitará el caracol para recorrer la misma distancia? (1 puntos)
Retroalimentación: El guepardo corre a 90 km/h, mientras que el caracol se arrastra a 1/20 km/h. El tiempo que corre el guepardo son 18 segundos, es decir, 18/3600 = 1/200 horas en las que recorre 90/200 = 9/20 km. El caracol tardará por tanto 9 horas en recorrer esa misma distancia.
23. Sobre el cuadrado $ABCD$ se dibuja el triángulo rectángulo $AEB$ , rectángulo en $E$ . Trazamos el segmento $DF$ paralelo a $AE$ . Si $BF = 4$ y $DF = 10$ , la longitud de $AE$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Los triángulos FGB y AGD son semejantes, luego GF/BF = GA/DA de modo que GA = \frac{1}{4} \cdot GF . Por otra parte, GB/BF = GD/DA donde GD = FD - GF = 10 - GF de modo que GB = \frac{4}{7}(10 - GF) .
24. Sean $a, b \in \mathbb{R}$ , $a > 1$ y $b \neq 0$ . Si $ab = a^b$ y $\frac{a}{b} = a^{2b}$ , entonces $b^{-a}$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Comencemos viendo que a^2 = ab \cdot \frac{a}{b} = a^b \cdot a^{3b} = a^{4b} , por lo que b = \frac{1}{2} . Además, como ab = a^b , deducimos que \frac{a}{2} = \sqrt{a} de modo que \sqrt{a} = 2 , es decir, a = 4 . Con todo esto, es fácil calcular b^{-a} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16 .
25. Consideramos todos los números de la forma $p^2 - 1$ con $p$ primo mayor que 3. ¿Cuál es el mayor número que divide a todos ellos? (1 puntos)
Retroalimentación: En primer lugar, observemos que los números de la forma p^2 - 1 podemos reescribirlos como (p - 1)(p + 1) . Siendo p un primo mayor que 3, debe ser un número impar, así que tanto p - 1 como p + 1 deben ser números pares. Además, al ser números pares consecutivos, uno de ellos debe ser múltiplo de 4. En consecuencia, todos los números de la forma p^2 - 1 con p primo mayor que 3 son múltiplos de 8.