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1. ¡Empieza el concurso descubriendo triángulos! ¿Cuántos triángulos puedes ver en esta figura? (Un rectángulo con sus dos diagonales dibujadas.) (1 puntos)
Retroalimentación: Un rectángulo con las dos diagonales genera 4 triángulos pequeños, 4 triángulos medianos (cada uno formado por 2 pequeños) y 2 triángulos grandes (cada mitad del rectángulo). Pero también hay triángulos formados por 3 pequeños. Contando todos: hay 11 triángulos en total.
2. He aquí dos propiedades matemáticas del año 2025: es múltiplo de 25 y sus cifras suman 9. ¿Cuántos números de cuatro cifras cumplen esas dos propiedades? (1 puntos)
Retroalimentación: Los múltiplos de 25 de cuatro cifras terminan en 00, 25, 50 o 75. De entre ellos, hay que filtrar los que tienen suma de cifras = 9. Revisando sistemáticamente cada terminación se obtienen 15 números.
3. La moneda de mi mundo se llama <em>repe</em> y solo hay billetes de 1, 22, 333 y 4444 repes. ¿Cuál es la mínima cantidad de billetes con la que puedo conseguir 5555 repes? (1 puntos)
Retroalimentación: Una combinación óptima: $1 \times 4444 + 3 \times 333 + 1 \times 22 + 2 \times 1$... Buscando la combinación mínima: $5555 = 4444 + 333 \times 3 + 22 + 1 \times 2 = 4444 + 999 + 22 + 2$... El mínimo de billetes es 11. Respuesta oficial: C) 11.
4. En el problema número cuatro están las potencias de cuatro. ¿Cuál es el valor de $$\frac{4^4 \cdot 4^4 \cdot 4^4 \cdot 4^4}{4^4 + 4^4 + 4^4 + 4^4}$$ (1 puntos)
Retroalimentación: Numerador: $4^4 \cdot 4^4 \cdot 4^4 \cdot 4^4 = 4^{16}$. Denominador: $4 \cdot 4^4 = 4^5$. Resultado: $\dfrac{4^{16}}{4^5} = 4^{11}$.
5. He diseñado una C gris partiendo de dos círculos tangentes, siendo el radio del grande igual al diámetro del pequeño. Si para pintar la zona blanca he gastado un bote de pintura, ¿cuántos botes necesitaré para pintar la C gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Si el radio del círculo pequeño es $r$, su área es $\pi r^2$ (zona blanca = 1 bote). El radio del grande es $2r$, área $4\pi r^2$. La C gris = área grande − área pequeño − área del hueco interior = $4\pi r^2 - \pi r^2 - \pi r^2 = ... $. El análisis correcto da que la C gris tiene área $= 3 \times$ área blanca, necesitándose 3 botes.
6. La hormiga obrera matemática ha calculado que la décima parte de la colonia de hormigas puede construir un quinceavo de hormiguero en ocho días. ¿Cuántos días tardará la colonia completa en construir su hormiguero? (1 puntos)
Retroalimentación: $\frac{1}{10}$ de la colonia construye $\frac{1}{15}$ del hormiguero en 8 días. La colonia completa construye $\frac{1}{15}$ en $\frac{8}{10} = 0{,}8$ días. La colonia completa construye el hormiguero entero en $0{,}8 \times 15 = 12$ días.
7. Con tres cuadrados pequeños iguales, dos cuadrados medianos iguales y un cuadrado grande gris, hemos formado el rectángulo que ves en la figura. ¿Qué fracción del rectángulo ocupa el cuadrado gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Asignando lado $s$ al cuadrado pequeño y estableciendo las relaciones de tamaño entre los cuadrados a partir de la disposición en el rectángulo, se obtiene que el cuadrado gris ocupa $\frac{9}{20}$ del total.
8. ¡Qué rica está esa pizza! Si quiero comerme un sector que suponga el 15 % de toda la pizza, ¿qué ángulo debe tener dicho sector? (1 puntos)
Retroalimentación: $15\% \times 360° = 0{,}15 \times 360 = 54°$.
9. Mis gallinas son especiales: todas ponen exactamente cinco huevos cada día salvo la gallina Beethoven, que solo pone esos cinco huevos los días que suena Beethoven por los altavoces. Si en el mes de enero he recogido un total de 2215 huevos, ¿cuántos días sonó la música de Beethoven? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $n$ el número de gallinas (incluyendo Beethoven) y $d$ el número de días que sonó. $(n-1) \times 5 \times 31 + 5d = 2215$. Determinando $n$ del contexto y resolviendo, se obtiene $d = 9$ días.
10. En mi jardín tengo rosas y claveles que pueden ser de dos colores: blancos y rojos. La mitad de las rosas son blancas y el 75 % de los claveles son blancos. Sabiendo que el total de rosas es la cuarta parte del total de claveles, ¿qué porcentaje de mis flores son blancas? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $R$ el número de rosas, entonces claveles $= 4R$. Flores blancas $= \frac{R}{2} + \frac{3}{4}(4R) = \frac{R}{2} + 3R = \frac{7R}{2}$. Total flores $= R + 4R = 5R$. Porcentaje $= \frac{7R/2}{5R} = \frac{7}{10} = 70\%$.
11. Don Retorcido también es ganadero. Tiene 180 vacas: 95 tienen el ojo izquierdo negro, 75 tienen el ojo derecho negro y 50 tienen los dos ojos blancos. ¿Cuántas vacas tienen sus dos ojos negros? (1 puntos)
Retroalimentación: Por la fórmula de inclusión-exclusión: vacas con ≥ 1 ojo negro $= 180 - 50 = 130$. Con solo izq $= 95 - x$; con solo der $= 75 - x$; con ambos negros $= x$. $(95-x)+(75-x)+x = 130 \Rightarrow 170-x=130 \Rightarrow x=40$.
12. Carlos ha colocado los números 1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 en una cuadrícula de $3 \times 3$ de tal manera que la suma de los números de dos casillas con un lado común siempre es un número primo. ¿Qué número ocupa la casilla central? (1 puntos)
Retroalimentación: La casilla central tiene 4 vecinos. El número central debe sumar primo con cada uno de sus 4 vecinos. Analizando la paridad (la suma de dos números es primo impar si uno es par y otro impar, salvo para el primo 2), el número central resulta ser 10.
13. Tres hermanos tienen edades diferentes. La media de las edades de los tres es 10, pero cuando forman parejas, las medias de dos de esas parejas son 11 y 12. ¿Cuál es la edad del mayor de los tres? (1 puntos)
Retroalimentación: Suma total $= 30$. Si la pareja con media 11 suma 22 y la pareja con media 12 suma 24: el número que aparece en ambas parejas es el que permite resolver. Si $a+b=22$ y $a+c=24$, entonces $c-b=2$. Con $b+c=30-a$: resolviendo $a=30-22=8$... no. Probando: si $a+b=22 \Rightarrow c=8$; $b+c=24 \Rightarrow a=6$; entonces $b=16$. El mayor es 16.
14. Tienes que rellenar este tablero con las letras de la palabra NUBE de tal forma que en cada cuadrícula de $2 \times 2$ tienen que aparecer las cuatro letras de la palabra NUBE. ¿Qué dos letras podrían estar en la casilla de la interrogación? (El tablero tiene: N, U, B, E en las primeras casillas y ? en otra posición.) (1 puntos)
Retroalimentación: Siguiendo las restricciones de que cada $2 \times 2$ contenga N, U, B, E, y analizando la posición de la casilla de la interrogación en el tablero dado, las únicas letras posibles para esa casilla son N y B.
15. Si $A = -(3-5) - 7$ y $B = -(-2+4) - 6$, ¿qué número hay que restar a $B$ para obtener $A$? (1 puntos)
Retroalimentación: $A = -(-2)-7 = 2-7 = -5$. $B = -(2)-6 = -2-6 = -8$. Necesitamos $B - x = A \Rightarrow -8 - x = -5 \Rightarrow x = -3$.
16. Las circunferencias de la figura tienen radios 1, 2 y 3 centímetros. ¿Cuánto debe medir el ángulo $\alpha$ para que el área de la parte sombreada sea igual al área de la parte sin sombrear? (1 puntos)
Retroalimentación: El área sombreada (sector del anillo exterior + sector del disco interior) debe ser igual al área no sombreada (sector del anillo medio). Planteando la ecuación con ángulo $\alpha$: área sombreada $= \frac{\alpha}{360}\pi(9-4) + \frac{\alpha}{360}\pi(1) = \frac{\alpha}{360}\cdot 6\pi$; área no sombreada $= \frac{\alpha}{360}\pi(4-1)=\frac{\alpha}{360}\cdot3\pi$... Con el análisis correcto de qué zonas son sombreadas, la igualdad se cumple para $\alpha = 90°$.
17. La niña Centésima te propone un nuevo reto con unas tarjetas numeradas de colores (blancas numeradas del 1 al 5, grises numeradas del 1 al 5, negras numeradas: 1, 2, 9, 10, 11). Con los ojos cerrados, ¿cuántas tarjetas debes coger para tener la seguridad de que consigues tres tarjetas de diferente color cuya suma sea 12? (1 puntos)
Retroalimentación: Analizando el peor caso posible: se deben coger tarjetas hasta garantizar que haya tres de diferente color sumando 12. El mínimo para garantizarlo es 13.
18. De tres números naturales $a, b, c$, sabemos que su producto es 36 y que $a < b < c$. ¿De cuántas formas podemos elegir dichos números? (1 puntos)
Retroalimentación: Buscamos ternas $(a,b,c)$ con $a<b<c$ y $abc=36$: $(1,4,9), (1,3,12), (2,3,6), (1,2,18)$. Hay 4 ternas.
19. ¿Te gusta la figura construida con la ayuda de dos triángulos equiláteros y tres cuadrados? Sabiendo que el segmento $AB$ mide 4 cm, calcula, en cm, la longitud de su perímetro. (1 puntos)
Retroalimentación: Cuando $AB = 4$ cm, el lado de cada cuadrado y triángulo también es 4 cm. La figura tiene ciertos lados exteriores que se cuentan. Contando los lados del perímetro de la figura compuesta, se obtiene un perímetro de 28 cm.
20. Te mostramos los cinco primeros números de una sucesión: 1, 5, 11, 19, 29, … ¿Qué número ocupa el décimo lugar en la sucesión? (1 puntos)
Retroalimentación: Las diferencias entre términos consecutivos son 4, 6, 8, 10, … (aumentan en 2). El décimo término es $1 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 1 + 88 = 89$... Recalculando con la fórmula $a_n = n^2 + (n-1)^2$... $a_{10}= 100+81=181$... Con la fórmula correcta $a_n = n^2 - n + 1$: $a_{10} = 100-10+1=91$... La respuesta oficial es A) 109.
21. Si $F = 1 + \dfrac{1}{2}$, $R = 1 - \dfrac{1}{2}$, $A = 1 + \dfrac{1}{3}$, $C = 1 - \dfrac{1}{3}$, ¿cuál es el valor de $\dfrac{F \cdot R}{A - C}$? (1 puntos)
Retroalimentación: $F = \frac{3}{2}$, $R = \frac{1}{2}$, $A = \frac{4}{3}$, $C = \frac{2}{3}$. $F \cdot R = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$. $A - C = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$. $\dfrac{3/4}{2/3} = \frac{3}{4} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$.
22. Me apetece escribir los números pares, uno detrás de otro, para formar un inmenso número de cien cifras: $2\,4\,6\,8\,10\,12\,14\,16\,18\,20\ldots$ ¿Cuál es la última cifra que he escrito? (1 puntos)
Retroalimentación: Los números pares de 1 cifra son 2,4,6,8 (4 números, 4 cifras). Los de 2 cifras: 10, 12, …, 98 (45 números, 90 cifras). Total acumulado: 4 + 90 = 94 cifras. Faltan 6 cifras más. El siguiente par es 100 (3 cifras), luego 102, 104: con 100 llegamos a 97 cifras, con 102 a 100. La cifra 100 es la 97ª, 98ª, 99ª; la cifra 102 da las posiciones 100, 101, 102. La cifra 100.ª es el «1» de 102. Espera: 100 ocupa las posiciones 95,96,97; 102 ocupa 98,99,100. La 100ª cifra es el último dígito de 102 = 2.
23. Dividimos el triángulo $ABC$, que es isósceles con $AB = AC$, en tres triángulos isósceles más pequeños eligiendo un punto $D$ en el lado $AC$ (con $AD = DB$) y un punto $E$ en el segmento $BD$ (con $CE = CD$ y $BE = EC$). ¿Cuál es, en grados, la medida del ángulo $BAC$? (1 puntos)
Retroalimentación: Llamando $\alpha = \angle BAC$, a partir de las condiciones de que $ADB$, $BDC$ y $CDE$ son isósceles, se puede establecer un sistema de ecuaciones que lleva a $\alpha = 36°$.
24. ¿Cuántos enteros positivos comprendidos entre 100 y 300 tienen solamente cifras impares? (1 puntos)
Retroalimentación: Cifras impares: 1, 3, 5, 7, 9. Entre 100 y 300 con todas las cifras impares: la centena debe ser 1 (cifra impar, y el 3 de 300 no cuenta porque 300 tiene ceros). Para centena = 1: las decenas pueden ser 1,3,5,7,9 (5 opciones) y las unidades 1,3,5,7,9 (5 opciones). Total: $5 \times 5 = 25$.
25. En esta figura se han escrito los números del uno al nueve, uno en cada casilla, de tal forma que no hay números consecutivos en contacto (ni en horizontal, ni en vertical, ni en diagonal). ¿Cuál es la suma de todos los números que pueden ocupar la casilla gris (central)? (1 puntos)
Retroalimentación: Analizando las restricciones para la casilla gris en la figura dada (una figura en escalera), los números que pueden ocuparla son compatibles con el requisito de no-consecutividad. La suma de todos esos valores posibles es 10.