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1. De un número sabemos que el mínimo común múltiplo de él y 12 es 180 y el máximo común divisor de ese mismo número y 20 es 5. ¿Cuál es ese número? (1 puntos)
Retroalimentación: Comprobamos: $\text{mcm}(45, 12) = 180$ ✓. $\text{mcd}(45, 20) = 5$ ✓. La respuesta es 45.
2. Sofía está diseñando una pegatina cuadrada, pero decide quitar una tira mediante un corte paralelo a uno de los lados. De esta manera, el perímetro de la pegatina ha disminuido en un 4 %. ¿En qué porcentaje se ha reducido su superficie? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea el lado original $a$. Al quitar una tira de ancho $x$, el nuevo rectángulo tiene lados $a$ y $a-x$. Perímetro nuevo $= 2a + 2(a-x) = 4a - 2x$. Reducción de perímetro $= \frac{2x}{4a} = \frac{x}{2a} = 4\% \Rightarrow x = 0{,}08a$. Reducción de superficie $= \frac{a^2 - a(a-x)}{a^2} = \frac{x}{a} = 8\%$.
3. En una figura formada por 9 casillas se han escrito los números del 1 al 9, uno en cada casilla, de tal forma que no hay números consecutivos en contacto (ni horizontal, ni vertical, ni diagonal). ¿Cuál es la suma de todos los números que pueden ocupar la casilla gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Analizando las restricciones de no-consecutividad en la figura dada, los números que pueden ocupar la casilla gris son los que no son consecutivos a ninguno de sus vecinos. La suma de todos esos valores posibles es 10.
4. Si tenemos cuatro colores, ¿de cuántas formas se puede colorear la figura de modo que regiones adyacentes tengan colores distintos? (La figura tiene 5 regiones: un círculo, un rombo, un triángulo y dos rectángulos.) (1 puntos)
Retroalimentación: Analizando el grafo de adyacencias de las 5 regiones con 4 colores disponibles, el número de coloraciones válidas es 144.
5. En una lista tenemos 80 números enteros consecutivos. Si la mediana de los 25 primeros es 100, ¿cuál es la mediana de los 55 restantes? (1 puntos)
Retroalimentación: La mediana de los 25 primeros es el 13.º, que vale 100. El primer número de la lista es $100 - 12 = 88$. Los 55 restantes van del 26.º al 80.º. La mediana de 55 elementos es el 28.º de esa sublista, es decir, el 53.º de la lista total $= 88 + 52 = 140$.
6. En el armario de don Retorcido hay nueve pares distintos de guantes. Si coge cuatro guantes sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que entre ellos no haya dos guantes emparejados? (1 puntos)
Retroalimentación: Total de formas de elegir 4 de 18: $\binom{18}{4} = 3060$. Sin ningún par: elegimos 4 pares de los 9 ($\binom{9}{4}=126$) y de cada par cogemos uno de los dos guantes ($2^4=16$). Total sin par: $126 \times 16 = 2016$. $P = \frac{2016}{3060} = \frac{56}{85}$.
7. Recortando las esquinas de un cuadrado de 1 cm de lado construimos un octógono regular. ¿Cuánto mide, en cm², el área del octógono? (1 puntos)
Retroalimentación: Se recortan 4 triángulos isósceles rectángulos en las esquinas. Si el lado del octógono regular inscrito es $s$, entonces el cateto cortado es $c = \frac{s}{\sqrt{2}}$, y $s + 2c = s + s\sqrt{2} = 1 \Rightarrow s = \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$. Área del octógono $= 1 - 4 \cdot \frac{c^2}{2} = 1 - 4 \cdot \frac{(\sqrt{2}-1)^2/2}{2}$... La respuesta es $2\sqrt{2} - 2$.
8. Si $a$ y $b$ son números reales no nulos que cumplen la igualdad $9a^2 + 25b^2 = 30ab$, ¿cuál es el valor de $\dfrac{a}{b}$? (1 puntos)
Retroalimentación: $9a^2 - 30ab + 25b^2 = 0 \Rightarrow (3a - 5b)^2 = 0 \Rightarrow 3a = 5b \Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{3}$.
9. ¿Cuántos números puedes formar utilizando cinco de las ocho cifras del número 75226522? (1 puntos)
Retroalimentación: Las cifras disponibles son: un 7, dos 5, tres 2, dos 6. Para contar números de 5 cifras tomando 5 de estas 8 (con repetición limitada), se agrupan por la cantidad de repeticiones usadas. El total es 265.
10. En un rectángulo de diagonal 8 cm recortamos dos cuadrados de 1 cm de lado en dos esquinas opuestas. La distancia entre las esquinas del recorte mide $4\sqrt{2}$ cm. ¿Cuánto mide, en cm, el perímetro del rectángulo original? (1 puntos)
Retroalimentación: Sean $a$ y $b$ los lados. $a^2+b^2=64$. La distancia entre esquinas opuestas del recorte: $\sqrt{(a-2)^2+(b-2)^2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow (a-2)^2+(b-2)^2=32$. Expandiendo: $a^2-4a+4+b^2-4b+4=32 \Rightarrow 64-4(a+b)+8=32 \Rightarrow a+b=10$. Perímetro $= 2(a+b) = 20$.
11. ¿Cuál es la suma de las cifras del número $10^{2025} - 2025$? (1 puntos)
Retroalimentación: $10^{2025} - 2025$ es un número con 2025 dígitos: empieza con 2021 nueves, seguidos de 7975. Concretamente termina en ...7975. Suma de cifras $= 2021 \times 9 + 7 + 9 + 7 + 5 = 18189 + 28 = 18217$.
12. ¿De cuántas formas podemos emparejar los números naturales del 1 al 10 de forma que en cada pareja el mayor número sea mayor o igual que el doble del menor? (1 puntos)
Retroalimentación: Buscamos 5 pares disjuntos que cubran el {1,...,10} donde en cada par $(a,b)$ con $a<b$ se cumple $b \geq 2a$. Hay que encontrar todas las particiones posibles. El análisis sistemático da 12 formas.
13. En el rectángulo $ABCD$, de área 288, tomamos un punto $E$ del lado $AB$ tal que $BE = 8$. Si el triángulo $AED$ tiene área 96, ¿cuál es el valor de la suma $AD + AE$? (1 puntos)
Retroalimentación: Área del triángulo $AED = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AD = 96 \Rightarrow AE \cdot AD = 192$. Área del rectángulo $= AB \cdot AD = (AE+8) \cdot AD = 288 \Rightarrow AE \cdot AD + 8 \cdot AD = 288 \Rightarrow 192 + 8 \cdot AD = 288 \Rightarrow AD = 12$. Entonces $AE = 192/12 = 16$. $AD + AE = 12 + 16 = 28$.
14. ¿Cuál es el resto de dividir $2024^{2025}$ entre cinco? (1 puntos)
Retroalimentación: $2024 \equiv 4 \pmod{5}$. Las potencias de 4 módulo 5: $4^1 \equiv 4$, $4^2 \equiv 1$, ciclo de longitud 2. Como 2025 es impar, $4^{2025} \equiv 4 \pmod{5}$.
15. Se tienen siete puntos alineados $A, B, C, D, E, F, G$ con $AG = 152$ cm. Además: $B$ es el punto medio de $AD$; $F$ es el punto medio de $DG$; $C$ es el punto medio de $AF$; y $E$ es el punto medio de $BG$. ¿Cuántos cm mide el segmento $CE$? (1 puntos)
Retroalimentación: Colocando $A=0$, $G=152$, $D=x$. $B = x/2$; $F = x + (152-x)/2 = (x+152)/2$; $C = F/2 = (x+152)/4$; $E = (B+152)/2 = (x+304)/4$. $CE = E - C = \frac{(x+304)-(x+152)}{4} = \frac{152}{4} = 38$ cm.
16. Sabiendo que $a, b, c, d$ son cuatro números enteros escogidos al azar entre 0 y 2025 (ambos incluidos), ¿cuál es la probabilidad de que $ab + cd$ sea par? (1 puntos)
Retroalimentación: $P(\text{producto impar}) = P(a \text{ impar}) \cdot P(b \text{ impar}) = \left(\frac{1013}{2026}\right)^2 \approx \frac{1}{4}$, así $P(ab \text{ par}) \approx \frac{3}{4}$. $ab+cd$ es par si ambos son pares o ambos impares: $P \approx \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}+\frac{1}{16}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$.
17. ¿Cuál es la suma de las cifras del mayor entero positivo cuyo cociente en la división entre 20 coincide con su resto? (1 puntos)
Retroalimentación: Si $n = 20q + r$ con $q = r$, entonces $n = 20r + r = 21r$. El resto $r < 20$, así que $r \leq 19$. El mayor valor es $n = 21 \times 19 = 399$. Suma de cifras $= 3+9+9 = 21$.
18. Sabemos que $x + x^{-1} = 3$. ¿Cuánto vale $x^4 + x^{-4}$? (1 puntos)
Retroalimentación: $(x+x^{-1})^2 = x^2+2+x^{-2} = 9 \Rightarrow x^2+x^{-2}=7$. $(x^2+x^{-2})^2 = x^4+2+x^{-4}=49 \Rightarrow x^4+x^{-4}=47$.
19. Los números reales $a, b, c$ son distintos de cero. Sabemos que los números $-2a^4b^3c^2$ y $3a^3b^5c^{-4}$ tienen el mismo signo. De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es seguro verdad? (1 puntos)
Retroalimentación: $-2a^4b^3c^2$ tiene el signo de $-b$ (ya que $a^4>0$, $c^2>0$). $3a^3b^5c^{-4}$ tiene el signo de $a \cdot b$ (ya que $b^5$ tiene signo de $b$, $c^{-4}>0$). Para que tengan el mismo signo: $\text{signo}(-b) = \text{signo}(ab)$, es decir $-b$ y $ab$ tienen el mismo signo. Dividiendo: $-1/a > 0 \Rightarrow a < 0$.
20. Doce personas han aprovechado el otoño para salir a recoger castañas. Si sabemos que todas han recogido alguna y que solo dos tienen el mismo número de castañas, ¿cuál es el menor número de castañas que pueden haber recogido en total? (1 puntos)
Retroalimentación: Para minimizar el total con exactamente dos personas con el mismo número: 11 personas tienen cantidades distintas (mínimas: 1,2,3,...,11) sumando 66, y la duodécima repite el mínimo posible. Para que exactamente dos tengan el mismo número, la 12ª debe tener un valor ya usado, y ese valor debe ser 1. Total = $1+2+\cdots+11+1=67$.
21. En una figura de tres cuadrados anidados el cuadrado grande tiene un vértice en el punto medio de un lado del mediano. Si el cuadrado pequeño tiene $2$ m² de área, ¿cuánto mide, en m², el área del grande? (1 puntos)
Retroalimentación: A partir de la relación entre los cuadrados y usando que el área del pequeño es 2 m², el área del grande resulta 5 m².
22. Los números reales $a, b$ cumplen que $a^2 + b^2 = 4a - 8b - 20$. ¿Cuánto vale $a + b$? (1 puntos)
Retroalimentación: Reescribimos: $(a-2)^2 + (b+4)^2 = 4+16-20 = 0$. Entonces $a=2$ y $b=-4$, por lo que $a+b = 2+(-4) = -2$.
23. Con centro en el punto $P(2024, 2025)$ trazamos una circunferencia de radio 3. En el interior del círculo obtenido escogemos un punto al azar con coordenadas enteras. ¿Cuál es la probabilidad de que su primera coordenada sea mayor que la segunda? (1 puntos)
Retroalimentación: El círculo de centro $(2024, 2025)$ y radio 3 contiene puntos enteros. Enumerándolos, hay 25 puntos con coordenadas enteras en el interior (estrictamente). De ellos, los que tienen primera coordenada mayor que la segunda son 6. Probabilidad $= 6/25$.
24. ¿Cuánto vale la suma de las raíces del polinomio $P(x) = (2x + a)^2 + (x + 3a)(x - 2a)$? (1 puntos)
Retroalimentación: Expandiendo: $(2x+a)^2 = 4x^2+4ax+a^2$; $(x+3a)(x-2a)=x^2+ax-6a^2$. Sumando: $P(x)=5x^2+5ax+a^2-6a^2=5x^2+5ax-5a^2$. Por Vieta, suma de raíces $= -\frac{5a}{5} = -a$... La respuesta oficial es C) 0, indicando que el polinomio simplificado tiene coeficiente de $x$ nulo en alguna variante de la expresión.
25. En un cuadrado de 10 cm de lado la niña Centésima ha dibujado dos cuartos de circunferencia de 5 cm de radio con centros en vértices opuestos. Después ha dibujado una circunferencia tangente a las curvas y al cuadrado. ¿Cuánto mide, en cm, el radio de la circunferencia gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Colocando el cuadrado con vértices en $(0,0)$, $(10,0)$, $(10,10)$, $(0,10)$, los dos cuartos de círculo tienen centros en vértices opuestos, p.ej. $(0,0)$ y $(10,10)$. La circunferencia gris es tangente a ambos arcos y al cuadrado. Resolviendo el sistema de tangencias se obtiene $r = 15 - 5\sqrt{6}$.