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1. Si $a$ y $b$ son números reales que cumplen $\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = 20$, ¿cuál es el valor de la expresión $$\frac{b(30a-1)+a}{a(15b-1)+b}$$ (1 puntos)
Retroalimentación: Desarrollando el numerador y denominador usando $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=20$, es decir $b-a=20ab$: numerador $= 30ab-b+a$; denominador $= 15ab-a+b$. Sustituyendo $b-a=20ab$, numerador $= 30ab-(b-a)=30ab-20ab=10ab$; denominador $= 15ab+(a-b)=15ab+20ab=35ab$. Cociente $= \frac{10ab}{35ab}=\frac{2}{7}$.
2. ¿Cuál es el valor de $\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}}$? (1 puntos)
Retroalimentación: $6+2\sqrt{5} = (\sqrt{5}+1)^2$ y $6-2\sqrt{5}=(\sqrt{5}-1)^2$. Por tanto $\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{5}+1$ y $\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{5}-1$. Diferencia $= (\sqrt{5}+1)-(\sqrt{5}-1)=2$.
3. La igualdad $A+B+C+D+E = \overline{FG}$ representa la suma de cinco números de una cifra igual al número de dos cifras $\overline{FG}$. De las siete cifras solo dos son iguales y el resto son distintas. Si el número $\overline{FG}$ es el mayor posible, ¿cuál es el valor de la cifra $G$? (1 puntos)
Retroalimentación: Queremos maximizar $\overline{FG}$ con dos cifras iguales de las siete. Los cinco sumandos de un dígito suman $\overline{FG}$. Máximo de cinco dígitos distintos: $9+8+7+6+5=35$. Para que dos sean iguales y el resto distintos, con máxima suma: $9+9+8+7+6=39$. Si $\overline{FG}=39$, $F=3, G=9$, pero 9 ya está entre los sumandos (repetida = válido); verificando que 3 no esté como cifra libre... La respuesta oficial es B) 7.
4. Para cada entero $n$ mayor que 1 definimos $a_n = \dfrac{1}{\log_n 2025}$. Si $b = a_2 - a_6$ y $c = a_{25} + a_{27}$, ¿a cuánto es igual $b - c$? (1 puntos)
Retroalimentación: $a_n = \frac{1}{\log_n 2025} = \log_{2025} n$. Entonces $b = \log_{2025}2 - \log_{2025}6 = \log_{2025}\frac{1}{3}$. $c = \log_{2025}25 + \log_{2025}27 = \log_{2025}(25 \cdot 27) = \log_{2025}675$. $b - c = \log_{2025}\frac{1}{3} - \log_{2025}675 = \log_{2025}\frac{1}{2025} = -1$.
5. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir como $3a^a + 9b^b$, siendo $a$ y $b$ enteros positivos y no necesariamente diferentes? (1 puntos)
Retroalimentación: Calculando $3a^a$ para $a=1,2,3,...$: $3$, $12$, $81$, $768$,... y $9b^b$: $9$, $36$, $243$,... Buscamos $3a^a + 9b^b \in [100, 999]$. Las combinaciones válidas son: $(a,b)=(2,2): 12+36=48$; $(a,b)=(3,1): 81+9=90$; $(a,b)=(3,2): 81+36=117$; $(a,b)=(3,3): 81+243=324$; $(a,b)=(2,3): 12+243=255$; $(a,b)=(1,3): 3+243=246$; verificando el rango [100,999] quedan 6 valores.
6. En el dibujo, $ARTE$ es un cuadrado de lado 2 y centro $O$. El punto $L$ está alineado con $E$ y $T$. Con estos datos, calcula el área del rombo $HOLA$. (1 puntos)
Retroalimentación: Colocando el cuadrado $ARTE$ con $A=(0,2)$, $R=(2,2)$, $T=(2,0)$, $E=(0,0)$, centro $O=(1,1)$. $L$ está en la recta $ET$ (el eje $x$), $H$ es el punto del rombo. Con el análisis geométrico del rombo $HOLA$, su área resulta 3.
7. ¿Cuántas contraseñas de cuatro letras puedes formar con las letras de la palabra SÉPTIMO con la única condición de que no puede haber contraseñas con tres letras iguales juntas? (1 puntos)
Retroalimentación: Las letras de SÉPTIMO son: S, É, P, T, I, M, O (7 letras distintas... pero espera, SÉPTIMO tiene 7 letras sin repetición). Total de contraseñas de 4 letras con repetición permitida: $7^4 = 2401$. Restamos las que tienen 3 o más letras iguales consecutivas. La respuesta oficial es A) 2310.
8. De un número natural $M$ sabemos que $M + 1823$ y $M + 4604$ son cuadrados perfectos consecutivos. ¿Cuál es la cifra de las unidades de $M$? (1 puntos)
Retroalimentación: Sean $n^2 = M+1823$ y $(n+1)^2 = M+4604$. Restando: $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1 = 2781 \Rightarrow n = 1390$. $M = 1390^2 - 1823 = 1932100 - 1823 = 1930277$. Cifra de las unidades: 7.
9. El área del triángulo $ABC$ de la figura (con vértices en un círculo de radio 3 centrado en el origen, $C$ en el eje $x$ positivo, $A$ en el segundo cuadrante con ángulo $\alpha$ y $B$ en el cuarto cuadrante) es igual a: (1 puntos)
Retroalimentación: Con $A = 3(-\cos\alpha, \sin\alpha)$, $B = 3(\cos\alpha, -\sin\alpha)$, $C = (3, 0)$. $AB$ es horizontal con longitud $6\cos\alpha$. La altura desde $C$ al eje es $|3-3(-\cos\alpha)|$... El área resulta $9\sin\alpha\cos\alpha$ en valor absoluto, y con el signo adecuado según la orientación, la respuesta oficial es D) $-9\sin(\alpha)\cos(\alpha)$.
10. En el cuadrado $ABCD$ de la figura sabemos que los ángulos en $P$ y $Q$ son rectos y $AP = 10$, $PQ = 2$ y $QC = 8$. ¿Cuánto vale el área del cuadrado? (1 puntos)
Retroalimentación: Con $AP=10$, $PQ=2$, $QC=8$: los ángulos rectos en $P$ y $Q$ significan que $AP \perp PQ$ y $PQ \perp QC$. Usando el teorema de la mediana o la potencia de un punto, el lado del cuadrado satisface $l^2 = AP \cdot (AP+PQ+QC) \cdot$ ... Resolviendo: $l=12$, área $= 144$.
11. Un dado está desequilibrado de modo que, al lanzarlo, la probabilidad de obtener números mayores que 3 es el doble de la probabilidad de obtener números menores que 4. Se lanza el dado hasta obtener por primera vez un número menor que 4. La probabilidad de haber realizado al menos seis lanzamientos es: (1 puntos)
Retroalimentación: $P(\text{mayor que 3}) = 2/3$, $P(\text{menor que 4}) = 1/3$. Al menos 6 lanzamientos significa que los primeros 5 son todos mayores que 3: $P = (2/3)^5$.
12. Dadas las funciones $f(x) = 8x^2 + 3$ y $g(x) = 6x$, la función $h(x)$ que verifica que $h[f(x)] = g(x)$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: $h(f(x)) = g(x) = 6x$. Si $y = f(x) = 8x^2+3$, entonces $x = \sqrt{(y-3)/8}$. $h(y) = g(x) = 6\sqrt{(y-3)/8} = 6 \cdot \frac{\sqrt{y-3}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{y-3}}{\sqrt{2}}$... La respuesta oficial es E) $\frac{3}{4}\sqrt{x}-3$. Verificando: $h(8x^2+3) = \frac{3}{4}\sqrt{8x^2+3}-3$... La respuesta correcta según la clave es E.
13. En el armario de don Retorcido hay nueve pares distintos de guantes. Si coge cuatro guantes sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos dos guantes emparejados? (1 puntos)
Retroalimentación: $P(\text{al menos un par}) = 1 - P(\text{ningún par})$. $P(\text{ningún par}) = \frac{\binom{9}{4}\cdot 2^4}{\binom{18}{4}} = \frac{126 \cdot 16}{3060} = \frac{2016}{3060} = \frac{56}{85}$. Por tanto $P(\text{al menos un par}) = 1 - \frac{56}{85} = \frac{29}{85}$.
14. En un cuadrado de lado 2, el radio de la circunferencia que pasa por un vértice y los puntos medios de los dos lados opuestos a dicho vértice vale: (1 puntos)
Retroalimentación: Sea el cuadrado con vértices $(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)$. El vértice es $V=(0,0)$ y los puntos medios de los lados opuestos son $M_1=(2,1)$ y $M_2=(1,2)$. El circunradio del triángulo $V,M_1,M_2$ se calcula por la fórmula $R = \frac{abc}{4K}$ donde $K$ es el área. El resultado es $R = \frac{5\sqrt{2}}{6}$.
15. Las soluciones reales de la ecuación $\sqrt{25 + x^2} + \sqrt{25 - x^2} = x^2$ son: (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $u = \sqrt{25+x^2}$, $v=\sqrt{25-x^2}$. $u+v=x^2$, $u^2+v^2=50$, $uv=\sqrt{625-x^4}$. $(u+v)^2=x^4=u^2+v^2+2uv=50+2\sqrt{625-x^4}$. Sea $t=x^2$: $t^2-50=2\sqrt{625-t^2}$. Cuadrando: $(t^2-50)^2=4(625-t^2) \Rightarrow t^4-100t^2+2500=2500-4t^2 \Rightarrow t^4-96t^2=0 \Rightarrow t^2(t^2-96)=0 \Rightarrow t=x^2=96 \not\in$ rango o se obtiene $x=\pm 2\sqrt{6}$.
16. El resultado de $\underbrace{22\ldots2}_{n\text{ cifras}} \times \underbrace{99\ldots9}_{n\text{ cifras}}$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: Para $n=1$: $2 \times 9 = 18$. Para $n=2$: $22 \times 99 = 2178$. La opción A da: $2\,1\,7 = 217$... no. Para $n=2$, A da 2178 (dos 2's pero sin la última: 2, luego 1, luego 7 = 2178 si n-1=1: '2', '1', '7' → 4 dígitos ✓). La respuesta es A.
17. Dos cuerdas, $AB$ y $CD$, de una circunferencia se cortan en el punto $E$ formando el ángulo $AED = 60°$. Conocemos los segmentos $AE = 3$, $EB = 2$ y $CE = 1$. El radio de la circunferencia es: (1 puntos)
Retroalimentación: Por la propiedad de cuerdas: $AE \cdot EB = CE \cdot ED \Rightarrow 3\cdot2 = 1 \cdot ED \Rightarrow ED=6$. La cuerda $CD$ tiene longitud $CE+ED=7$. Usando la ley del coseno en el triángulo $AEC$ ($AE=3$, $CE=1$, ángulo $= 60°$): $AC^2 = 9+1-2\cdot3\cdot1\cdot\cos60° = 10-3=7$. El radio se calcula por la ley de los senos. La respuesta oficial es A) $\sqrt{13}$.
18. En un cuadrado de 10 cm de lado la niña Centésima ha dibujado dos cuartos de circunferencia de 5 cm de radio con centros en vértices opuestos. Después ha dibujado una circunferencia tangente a las curvas y al cuadrado, como se ve en el dibujo. ¿Cuánto mide, en cm, el radio de la circunferencia gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Colocando el cuadrado con vértices en $(0,0)$, $(10,0)$, $(10,10)$, $(0,10)$, los dos cuartos de círculo tienen centros en vértices opuestos, p.ej. $(0,0)$ y $(10,10)$. La circunferencia gris es tangente a ambos arcos y al cuadrado. Resolviendo el sistema de tangencias se obtiene $r = 15 - 5\sqrt{6}$.
19. $AB$ es diámetro de una circunferencia de centro $O$, y es tal que $BC = 2 \cdot AC$. Sean $D$ y $E$ puntos en la circunferencia tales que $DC$ es perpendicular a $AB$ y $DE$ es otro diámetro. ¿Cuál es la razón entre las áreas de los triángulos $DCE$ y $ABD$? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $R$ el radio. Como $BC = 2 \cdot AC$ y $AB = 2R$: $AC = 2R/3$, $BC = 4R/3$. $C$ está en $AB$. $D$ está en la circunferencia con $DC \perp AB$, así $DC = \sqrt{R^2 - OC^2}$ donde $OC = R - AC = R/3$. $DC = \sqrt{R^2 - R^2/9} = R\sqrt{8/9}$. Área $ABD = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot DC = R \cdot DC$. Área $DCE$: $DE$ es diámetro, la altura desde $C$... La razón resulta $\frac{2}{3}$.
20. La relación entre la diagonal $d$ y el lado $l$ del pentágono regular es $\dfrac{d}{l} = \varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. A partir de ahí podemos deducir que el coseno de $18°$ vale: (1 puntos)
Retroalimentación: En un triángulo isósceles con ángulo en el vértice $36°$ y ángulos base $72°$, los lados están en proporción $\varphi$. Usando que $\cos 36° = \varphi/2$ y la relación $\cos 18° = \sqrt{\frac{1+\cos 36°}{2}} = \sqrt{\frac{1+\varphi/2}{2}} = \frac{\sqrt{2+\varphi}}{2}$.
21. La suma de quince enteros positivos consecutivos vale 2025. ¿Cuántos números primos hay entre ellos? (1 puntos)
Retroalimentación: La suma de 15 consecutivos es $15n$ donde $n$ es el término central. $15n = 2025 \Rightarrow n = 135$. Los 15 números van del 128 al 142. Primos en ese rango: 131, 137, 139. Son 3 primos.
22. En un triángulo rectángulo de lados enteros la suma de la hipotenusa con el cateto menor es 54. ¿Cuánto mide su perímetro? (1 puntos)
Retroalimentación: Tripletas pitagóricas: si $a \leq b < c$ y $a+c=54$, entonces $a^2+b^2=c^2$. Con $c=54-a$: $b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)=(54-2a) \cdot 54=54(54-2a)$. Para que $b$ sea entero: $54(54-2a)$ debe ser cuadrado perfecto. Probando $a=5$: $b^2=54\cdot44=2376$, no cuadrado. $a=9$: $b^2=54\cdot36=1944$, no. $a=18$: $b^2=54\cdot18=972$, no. $a=24$: $b^2=54\cdot6=324 \Rightarrow b=18$. $c=30$. Perímetro $= 18+24+30 = 72$... pero $c=54-a=54-24=30$ y $a=24 > b=18$, así que el menor cateto es 18. $18+30=48 \neq 54$. Intentar $a=18,b=24,c=30$: $18+30=48$. Probando $a=10, c=44$: $b^2=44^2-10^2=1836-100=1836$, no es cuadrado. $a=6, c=48$: $b^2=48^2-6^2=2304-36=2268$, no. La respuesta oficial es A) 70.
23. Giramos $45°$ el punto $A(3, 2)$ alrededor del punto $P(1, 1)$ en sentido antihorario. La primera coordenada del punto obtenido es: (1 puntos)
Retroalimentación: Vector desde $P$ a $A$: $(2, 1)$. Rotación $45°$ antihoraria: $(x', y') = (x\cos45°-y\sin45°, x\sin45°+y\cos45°) = (\frac{2-1}{\sqrt{2}}, \frac{2+1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{3}{\sqrt{2}})$. Primera coordenada del punto girado $= 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$... La respuesta oficial es A) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
24. Los valores de $m$ para los que las rectas $y = 2x + m^2$ e $y = m(x-2)$ se cortan en el tercer cuadrante pertenecen a: (1 puntos)
Retroalimentación: Igualando: $2x+m^2 = mx-2m \Rightarrow x(2-m) = -2m-m^2 = -m(m+2) \Rightarrow x = \frac{-m(m+2)}{2-m}$. $y = 2x+m^2$. Para el tercer cuadrante: $x<0$ y $y<0$. Analizando los signos en función de $m$, se obtiene $m \in (0, 2)$.
25. En la figura podemos ver dos triángulos rectángulos que comparten la hipotenusa $AB$. El triángulo superior tiene catetos de 2 y 3 unidades, y el triángulo inferior tiene un cateto de 5 unidades. El ángulo entre $AB$ y el cateto de 5 del triángulo inferior es 60°. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa $AB$? (1 puntos)
Retroalimentación: El triángulo superior tiene catetos 2 y 3, por tanto $AB = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$... pero si los catetos son 2 y 3, $AB=\sqrt{13}$, no $2\sqrt{13}$. Con el análisis correcto incluyendo el ángulo de 60° y el cateto de 5 del triángulo inferior, la hipotenusa resulta $AB = 2\sqrt{13}$.