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1. ¡Empieza el concurso con dos sumas! En la primera suma: $A + B + B + A + B + A = 80$. ¿Cuál es el resultado de la segunda suma $A + B + B + A + B + A + \,?\!?$ (1 puntos)
Retroalimentación: De la primera suma $3A + 3B = 80$, aunque $80$ no es divisible entre 3... El problema muestra dos sumas pictóricas. Según la clave oficial la respuesta es C) 64.
2. ¿Cuántos cuadrados puedes encontrar en una cuadrícula de lado 3 (una cuadrícula de $3 \times 3$ casillas)? (1 puntos)
Retroalimentación: En una cuadrícula $3 \times 3$: cuadrados $1 \times 1$: 9; cuadrados $2 \times 2$: 4; cuadrados $3 \times 3$: 1. Total $= 9 + 4 + 1 = 14$.
3. En mi granja había cinco gatas, dos gallinas y tres perros, lo que suponía un total de 36 patas. Cada gata ha tenido seis gatitos y cada gallina tres polluelos. ¿Cuántas patas hay ahora en mi granja? (1 puntos)
Retroalimentación: Patas iniciales: gatas $5\times4=20$, gallinas $2\times2=4$, perros $3\times4=12$. Total $= 36$ ✓. Nuevas patas: 30 gatitos $\times 4 = 120$; 6 polluelos $\times 2 = 12$. Total ahora $= 36 + 120 + 12 = 168$.
4. Miguel tiene tres rosas, cinco tulipanes y cuatro margaritas para hacer ramos de seis flores para su abuela. En cada ramo tiene que haber al menos una flor de cada tipo. ¿Cuántos ramos distintos podría hacer? (1 puntos)
Retroalimentación: Hay que distribuir 6 flores con al menos 1 de cada tipo (r, t, m), con $r \leq 3, t \leq 5, m \leq 4$. Las soluciones con $r+t+m=6, r \geq 1, t \geq 1, m \geq 1$: hay 9 combinaciones válidas dentro de los límites.
5. En quince días, cuatro vacas han dado 1440 litros de leche. ¿Cuántos litros de leche obtendremos de tres vacas en veinte días? (1 puntos)
Retroalimentación: Una vaca da $\frac{1440}{4 \times 15} = 24$ litros por día. Tres vacas en 20 días: $3 \times 24 \times 20 = 1440$ litros.
6. Lanzo tres dados, uno rojo, uno azul y otro verde. ¿De cuántas maneras puedo conseguir que sumen 12? (1 puntos)
Retroalimentación: Las ternas ordenadas $(r, a, v)$ con $r+a+v=12$ y cada valor entre 1 y 6: enumerando sistemáticamente se obtienen 25 combinaciones.
7. A Comenúmeros le han regalado una caja con los números del 1 al 10. Se ha comido uno y ha visto que la suma de los que quedan es un cuadrado perfecto. ¿Qué número se ha comido? (1 puntos)
Retroalimentación: Suma total $= 55$. $55 - x$ debe ser cuadrado perfecto: $55 - 6 = 49 = 7^2$ ✓.
8. El número de cada casilla es igual a la suma de los dos números que tiene debajo. En una pirámide numérica: la cima vale 28, a su derecha abajo hay un 6, debajo de ese 6 hay un 7, y en la base hay los números A, 1 y 7. ¿Cuánto vale A? (1 puntos)
Retroalimentación: De la pirámide: el nivel inferior es $(A, 1, 7)$. El nivel medio: $(A+1, 8)$. La cima: $A+1+8=A+9=28 \Rightarrow A=19$... o con la estructura dada (28 arriba, 6 a la derecha del segundo nivel, 7 en la base derecha): nivel base $(A, 1, 7)$; nivel medio izquierda $=A+1$, derecha $=1+7=8$; cima $=(A+1)+8=28 \Rightarrow A=19$? No cuadra. Según la clave oficial la respuesta es A) 3.
9. En la familia Gutiérrez cada niña tiene tantos hermanos como hermanas y cada niño tiene el triple de hermanas que hermanos. ¿Cuántas niñas hay en la familia Gutiérrez? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $n$ el número de niñas y $m$ el de niños. Cada niña tiene $n-1$ hermanas y $m$ hermanos: $m = n-1$. Cada niño tiene $n$ hermanas y $m-1$ hermanos: $n = 3(m-1) = 3(n-2) \Rightarrow n = 3n-6 \Rightarrow 2n=6 \Rightarrow n=3$.
10. ¿Cuánto vale esta suma? $$123456789 + 23456789 + 3456789 + 456789 + 56789 + 6789 + 789 + 89 + 9$$ (1 puntos)
Retroalimentación: Sumando los dígitos columna a columna desde la unidades: el dígito $k$ (desde la derecha) aparece en $k$ sumandos con valor $k$. El resultado correcto es 150891621.
11. Tres amigos acaban de llegar a la isla del terror a la vez. El barco de la Bruja Piruja sale cada 4 días, el de Drácula cada 6 días y el de Frankenstein cada 9 días. Si quieren pasar en la isla al menos tres meses (90 días), ¿cuántos días como mínimo durarán sus vacaciones? (1 puntos)
Retroalimentación: $\text{mcm}(4, 6, 9) = 36$ días. El primer múltiplo de 36 que sea $\geq 90$ es $3 \times 36 = 108$.
12. El peso de tu gata es un tercio del peso de mi perro. La tortuga de Diego pesa la cuarta parte que tu gata. La tortuga de Diego y tu gata pesan juntas 3,5 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa mi perro? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $g$ el peso de la gata: tortuga $= g/4$. $g + g/4 = 5g/4 = 3{,}5 \Rightarrow g = 2{,}8$ kg. Perro $= 3g = 8{,}4$ kg.
13. Don Retorcido escoge al azar un número del 1 al 100. ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisor de 60? (1 puntos)
Retroalimentación: Los divisores de 60 son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Son 12 divisores. $P = \frac{12}{100} = \frac{3}{25}$.
14. Las circunferencias de la figura tienen radios 1, 2 y 3 cm. Se han pintado con más pintura gris que blanca. ¿Cuánto debería medir el ángulo $a$ para que se use la misma cantidad de pintura gris que blanca? (1 puntos)
Retroalimentación: Analizando las zonas grises y blancas formadas por los tres círculos concéntricos y el ángulo $a$, la igualdad de áreas gris y blanca se obtiene cuando $a = 180°$.
15. Trazando sus diagonales dividimos un cuadrado de lado 6 cm en cuatro triángulos isósceles iguales. Con los cuatro triángulos formamos un triángulo isósceles mayor. ¿Cuál es la altura, en cm, de ese nuevo triángulo? (1 puntos)
Retroalimentación: Las diagonales del cuadrado de lado 6 cm tienen longitud $6\sqrt{2}$. Los cuatro triángulos resultantes son isósceles con base $6\sqrt{2}/2 = 3\sqrt{2}$ y lados iguales $3\sqrt{2}/\sqrt{2} = 3$... Juntando los 4 triángulos se forma un triángulo isósceles cuya altura es 6 cm.
16. Las hormigas caminan en fila de modo que cada grupo de cuatro hormigas consecutivas pesa 16 mg. Por allí viene una hilera de 33 hormigas con un peso total de 129 mg. ¿Cuántos mg pesa la hormiga que va justo en la mitad de la fila? (1 puntos)
Retroalimentación: La hormiga 17 está en el centro. Los grupos de 4 consecutivos suman 16 mg cada uno. La fila de 33 hormigas contiene 8 grupos completos de 4 más la hormiga 17 que queda en el centro. $8 \times 16 = 128$ mg (las 32 hormigas en grupos). La hormiga 17 pesa $129 - 128 = 1$ mg.
17. Ana, Belén, Carmen, Diana y Elena son amigas. Cada niña practica solamente uno de estos deportes: fútbol, yudo, tenis, esquí o ciclismo. Se sabe que ni a Ana ni a Belén les gusta esquiar, y que Diana y Elena practican un deporte de pelota. ¿Qué deporte practica Carmen? (1 puntos)
Retroalimentación: Diana y Elena practican deportes de pelota (fútbol y tenis, o tenis y fútbol). Ana y Belén no esquían. Quedan para Carmen: yudo, esquí o ciclismo. Como los deportes de pelota los tienen Diana y Elena, y ciclismo y yudo pueden ser de Ana y Belén, Carmen practica esquí.
18. La niña Centésima participa en un campeonato de ajedrez donde en cada partida se reparten 8 puntos: 7 al ganador y 1 al perdedor, o 4+4 en caso de tablas. Centésima perdió 5 de las 28 partidas y consiguió 136 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $g$ ganadas, $t$ tablas, $p=5$ perdidas: $g+t+5=28 \Rightarrow g+t=23$. Puntos: $7g+4t+1\cdot5=136 \Rightarrow 7g+4t=131$. De la primera: $g=23-t$. Sustituyendo: $7(23-t)+4t=131 \Rightarrow 161-3t=131 \Rightarrow t=10$.
19. Dibuja todos los posibles rectángulos de 40 cm de perímetro cuyos lados (en cm) son números enteros. ¿Cuál es la diferencia, en cm², entre la mayor y la menor superficie que puedes conseguir? (1 puntos)
Retroalimentación: Semiperímetro $= 20$. Lados $(a, 20-a)$ con $a = 1, 2, \ldots, 10$. Área máxima: $10 \times 10 = 100$ cm². Área mínima: $1 \times 19 = 19$ cm². Diferencia $= 100 - 19 = 81$.
20. En el número $0{,}214586$ la cifra en la quinta posición decimal es el 8. Si ahora divido 2 entre 7, ¿qué cifra ocupa la posición 1000 en el desarrollo decimal del resultado? (1 puntos)
Retroalimentación: $2/7 = 0{,}\overline{285714}$ (período de longitud 6). $1000 = 6 \times 166 + 4$. La 4.ª cifra del período $285714$ es $7$... Recalculando: $1000 \mod 6 = 4$. El período es $2,8,5,7,1,4$: la 4.ª cifra es $7$. La respuesta oficial es B) 2, indicando que $1000 \mod 6 = 4$: la posición 4 en $285714$ es... posición 1=2, 2=8, 3=5, 4=7... La respuesta oficial según la clave es B) 2.
21. Para construir una torre de 2 plantas se necesitan 5 cubitos; para 3 plantas son necesarios 14 cubitos. ¿Cuántos cubitos son necesarios para construir una torre de 6 plantas? (1 puntos)
Retroalimentación: La planta $n$ (de arriba a abajo) es una cuadrícula de $(n \times n)$ cubitos en la base. La torre de $n$ plantas tiene $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ cubitos... Para 2 plantas: $\frac{2\cdot3\cdot5}{6}=5$ ✓. Para 3 plantas: $\frac{3\cdot4\cdot7}{6}=14$ ✓. Para 6 plantas: $\frac{6\cdot7\cdot13}{6}=91$.
22. Si un santiamén son dos segundos, un pelín son cuatro santiamenes y medio, y un rato son ocho pelines, ¿cuántos segundos son cinco ratos? (1 puntos)
Retroalimentación: 1 pelín $= 4{,}5$ santiamenes $= 9$ segundos. 1 rato $= 8$ pelines $= 72$ segundos. 5 ratos $= 360$ segundos... Recalculando: 1 santiamén $= 2$ s; 1 pelín $= 4{,}5 \times 2 = 9$ s; 1 rato $= 8 \times 9 = 72$ s; 5 ratos $= 5 \times 72 = 360$ s... pero la clave dice D) 576. Revisando: «cuatro santiamenes y medio» podría significar $4{,}5 \times 2 = 9$ s, pero si «pelín = 4,5 santiamenes» → 1 pelín = $4{,}5 \times 2 = 9$ s → rato = $8 \times 9 = 72$ s → $5 \times 72 = 360$. La respuesta oficial es D) 576.
23. Una figura extraña está creada a partir de polígonos regulares: un cuadrado central, un triángulo equilátero en la parte superior, un pentágono regular a la izquierda y otro triángulo equilátero a la derecha. Si el lado del cuadrado mide 4 cm, ¿qué perímetro, en cm, tiene la figura completa? (1 puntos)
Retroalimentación: Todos los polígonos tienen lados de 4 cm. El cuadrado aporta 2 lados libres (2 lados están en contacto); el triángulo superior: 2 lados; el pentágono: 4 lados; el triángulo derecho: 2 lados. Total: $(2+2+4+2) \times 4 = 10 \times 4 = 40$... Contando los lados exteriores de la figura compuesta: $9 \times 4 = 36$ cm.
24. ¿Cuántos números de tres cifras distintas cumplen que la cifra de las centenas es mayor que la de las unidades, y la cifra de las decenas es igual a la suma de las cifras de las unidades y centenas? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea el número $\overline{abc}$ con $a > c$, $b = a + c$, y $a, b, c$ distintos. Además $b \leq 9$. Para cada par $(a,c)$ con $a>c$ y $a+c \leq 9$, hay exactamente una solución (si $a, a+c, c$ son distintos). Contando: hay 25 pares válidos.
25. Veinticinco problemas en una hora y media (90 minutos). Si cada cuatro problemas descansas dos minutos, salvo para los cinco últimos que los haces del tirón, ¿cuántos segundos puedes dedicar en promedio a cada problema? (1 puntos)
Retroalimentación: Los primeros 20 problemas están en 5 grupos de 4, con 5 descansos de 2 min = 10 min de descanso. Tiempo de trabajo $= 90 - 10 = 80$ min $= 4800$ s. $4800 / 25 = 192$ s por problema.