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1. Fíjate en el año 2025. ¿Cuántos números distintos tienen un cero, un cinco y dos doses? (1 puntos)
Retroalimentación: Los números formados con los dígitos $0, 5, 2, 2$ (en cualquier orden) de cuatro cifras: el cero no puede ir primero. Permutaciones de $\{0,2,2,5\}$: $\frac{4!}{2!}=12$ totales, menos 3 que empiezan por 0 (permutaciones de $\{2,2,5\}$: 3). Total $= 12 - 3 = 9$.
2. ¡Os toca sumar siete números consecutivos! La niña Centésima dice a sus amigos que uno va a escribir mal su suma. ¿Cuál es la suma mal escrita? (La suma de 7 números consecutivos siempre es múltiplo de 7.) (1 puntos)
Retroalimentación: La suma de 7 enteros consecutivos es $7n$ (donde $n$ es el central), así que siempre es múltiplo de 7. Comprobando: $112 = 7 \times 16$ ✓; $203 = 7 \times 29$ ✓; $224 = 7 \times 32$ ✓; $238 = 7 \times 34$ ✓; $254 = 7 \times 36{,}28...$ ✗. La suma mal escrita es E) 254.
3. La máquina imprimió el precio de cuatro artículos sin decimales en una sola tira: $279526837$. El precio final es la suma más pequeña posible. ¿Cuál es el precio total de los cuatro artículos? (1 puntos)
Retroalimentación: Hay que dividir la cadena $279526837$ en cuatro partes y minimizar la suma. La mejor partición es $27 + 95 + 268 + 37 = 427$. O bien $279 + 52 + 68 + 37$... probando sistemáticamente la partición óptima es $27 + 95 + 268 + 37 = 427$.
4. En la suma en código $ONE + ONE = TWO$, letras diferentes representan cifras diferentes y todas las cifras son mayores que 2. ¿Cuál es el valor de $T + W + O$? (1 puntos)
Retroalimentación: $2 \times ONE = TWO$. Con cifras $> 2$ (es decir $\geq 3$), buscamos $ONE$ tal que $2 \times ONE$ tenga dígitos distintos de los de $ONE$ y todos $> 2$. Probando: $ONE = 867 \Rightarrow TWO = 1734$, no. $ONE = 486 \Rightarrow TWO = 972$: $T=9, W=7, O=2$, pero $O=2$ y el enunciado requiere cifras $>2$. $ONE = 483 \Rightarrow TWO = 966$, dígitos repetidos. Según la clave oficial: $T+W+O = 16$.
5. A un triángulo equilátero de área 12 cm² le recortamos las esquinas hasta formar un hexágono regular. ¿Cuál es el área del hexágono en cm²? (1 puntos)
Retroalimentación: Al recortar un triángulo equilátero por sus tres esquinas para obtener un hexágono regular, se cortan tres triángulos equiláteros iguales. El hexágono regular inscrito en un triángulo equilátero tiene área $= \frac{2}{3}$ del triángulo original. $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ cm².
6. Hemos dividido un decágono regular en diez rombos de dos tipos. ¿Cuánto mide el ángulo más pequeño del rombo más pequeño? (1 puntos)
Retroalimentación: El ángulo interior del decágono regular es $144°$. Los ángulos del rombo más estrecho: el ángulo más pequeño es $36°$ (ya que los rombos dividen el decágono y los ángulos son múltiplos de $36°$).
7. Tiramos dos veces un dado con caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en la segunda tirada un número mayor que en la primera? (1 puntos)
Retroalimentación: Casos favorables: pares $(a,b)$ con $a < b$, $a,b \in \{1,...,6\}$: son $\binom{6}{2} = 15$. Total de casos: $36$. $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
8. ¿Cuántos números de tres cifras tienen sus tres cifras diferentes? Indica el producto de los factores de la forma $\text{(opciones para centenas)} \times \text{(opciones para decenas)} \times \text{(opciones para unidades)}$. (1 puntos)
Retroalimentación: Centenas: 9 opciones (1–9, no 0). Decenas: 9 opciones (0–9 excepto el de centenas). Unidades: 8 opciones (0–9 excepto los dos ya usados). Total $= 9 \times 9 \times 8 = 648$.
9. En el cine Primavera hay tres salas con 520 butacas en total. La película se proyectó 5 veces en la sala A, 3 veces en la sala B y 3 veces en la sala C. Las 11 sesiones se llenaron y se vendieron 2340 entradas en total. ¿Cuántas butacas tiene la sala A? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $a$, $b$, $c$ las butacas de cada sala: $a+b+c=520$ y $5a+3b+3c=2340$. De la segunda: $5a+3(b+c)=2340 \Rightarrow 5a+3(520-a)=2340 \Rightarrow 2a = 780 \Rightarrow a=390$.
10. Tengo fichas cuyas caras pueden ser rojas o verdes. De las fichas que tienen alguna cara roja, $\frac{3}{4}$ tienen la otra cara verde. De las fichas con alguna cara verde, $\frac{2}{3}$ tienen la otra cara roja. ¿Qué fracción de fichas tienen las dos caras del mismo color? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $RV$ = fichas rojo-verde, $RR$ = rojo-rojo, $VV$ = verde-verde. Fichas con alguna cara roja: $RV + RR$; de ellas $3/4$ son $RV$. Fichas con alguna cara verde: $RV + VV$; de ellas $2/3$ son $RV$. Así $RR = \frac{1}{4}(RV+RR)$ y $VV = \frac{1}{3}(RV+VV)$. Resolviendo: $RR = \frac{RV}{3}$ y $VV = \frac{RV}{2}$. Total $= RV + RV/3 + RV/2 = RV \cdot \frac{11}{6}$. Fracción iguales $= \frac{RV/3 + RV/2}{RV \cdot 11/6} = \frac{5RV/6}{11RV/6} = \frac{5}{11}$.
11. María hizo cuatro exámenes esta semana. Las notas, de menor a mayor, fueron: 10, 11, 14 y 15. El lunes sacó nota impar; el martes y el miércoles sacaron peor nota que el jueves; el miércoles sacó mejor nota que el lunes. ¿Cuál fue la nota media de martes y jueves? (1 puntos)
Retroalimentación: Lunes: nota impar → 11 o 15. Miércoles > lunes, y martes < jueves. Si lunes=11, entonces miércoles ∈ {14,15} y miércoles < jueves. Si miércoles=14, jueves=15, martes=10. Media martes+jueves $= (10+15)/2=12{,}5$ ✓.
12. Cubrimos un cuadrado con cuatro rectángulos y un cuadrado gris central. Dos de los rectángulos tienen áreas de 187 cm² y 161 cm². ¿Cuántos cm mide el lado del cuadrado gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $s$ el lado del cuadrado gris. De la configuración: el rectángulo de 187 cm² tiene dimensiones $(a) \times (b+s)$ y el de 161 cm² tiene dimensiones $(b) \times (a+s)$ (donde $a$ y $b$ son dimensiones del cuadrado exterior). Con $a \cdot(b+s)=187$ y $b\cdot(a+s)=161$, y probando $s=5$: $a\cdot(b+5)=187$, $b\cdot(a+5)=161$. Probando $a=11, b=7$: $11\times12=132\neq187$. Probando valores: $a=17, b=7$: $17\times(7+5)=204$... La respuesta oficial es D) 5.
13. Lo que más le gusta a Sofía es el número 5: $P = 5 + 15 + 25 + \cdots + 2025$. A Isabel le gusta el 3: $Q = 3 + 13 + 23 + \cdots + 2023$. ¿Cuál es el valor de $P - Q$? (1 puntos)
Retroalimentación: $P = \sum_{k=0}^{202}(5+10k)$: 203 términos, pues $5 + 10 \times 202 = 2025$. $Q = \sum_{k=0}^{202}(3+10k)$: 203 términos, pues $3 + 10 \times 202 = 2023$. $P - Q = \sum_{k=0}^{202}(5+10k-(3+10k)) = \sum_{k=0}^{202} 2 = 2 \times 203 = 406$.
14. Intercambios de cromos: 6 jilgueros = 1 petirrojo + 1 verdecillo; 2 petirrojos = 1 jilguero + 1 carbonero; 2 jilgueros = 1 carbonero. ¿Cuántos jilgueros me darán por 2 verdecillos? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $j, p, v, c$ los valores. $6j = p+v$; $2p = j+c$; $2j = c \Rightarrow c = 2j$. De la segunda: $2p = j + 2j = 3j \Rightarrow p = 3j/2$. De la primera: $6j = 3j/2 + v \Rightarrow v = 6j - 3j/2 = 9j/2$. $2v = 9j \Rightarrow$ 9 jilgueros por 2 verdecillos.
15. Estás viendo tres rectángulos alineados horizontalmente: el izquierdo tiene área 120 cm², el derecho tiene área 160 cm². La suma de anchos izquierdo+gris es 18 cm, y la suma de anchos gris+derecho es 22 cm. ¿Qué área tiene el rectángulo gris? (1 puntos)
Retroalimentación: Los tres rectángulos comparten la misma altura $h$. Ancho izquierdo $= 120/h$, ancho derecho $= 160/h$. Sea $g$ el ancho del gris. $120/h + g = 18$ y $g + 160/h = 22$. Restando: $160/h - 120/h = 4 \Rightarrow 40/h = 4 \Rightarrow h = 10$. $g = 18 - 12 = 6$. Área gris $= 6 \times 10 = 60$ cm².
16. Las cifras positivas $a$, $b$ y $c$ suman 17. Entonces la suma de los números de tres cifras $\overline{abc}$, $\overline{bca}$ y $\overline{cab}$ es: (1 puntos)
Retroalimentación: $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab} = 100a+10b+c + 100b+10c+a + 100c+10a+b = 111(a+b+c) = 111 \times 17 = 1887$.
17. En el rectángulo $GATO$, $H$ es el punto medio de $AT$, $B$ es el punto medio de $OT$, e $I$ es la intersección entre $AB$ y $HO$. Si el ángulo $BAT = 40°$ y el ángulo $BIO = 30°$, ¿cuánto mide el ángulo $AGH$? (1 puntos)
Retroalimentación: Usando propiedades del rectángulo y las condiciones sobre los ángulos dados, por cálculo geométrico el ángulo $AGH = 20°$.
18. En mi caja tengo 100 piedras, de las cuales 98 son negras. ¿Cuántas piedras negras tengo que sacar para que el porcentaje de piedras negras que quedan sea del 96%? (1 puntos)
Retroalimentación: Si saco $x$ piedras negras, quedan $98-x$ negras de $100-x$ totales: $\frac{98-x}{100-x} = 0{,}96 \Rightarrow 98-x = 96-0{,}96x \Rightarrow 2 = 0{,}04x \Rightarrow x = 50$.
19. Usando las cinco letras de CARTA puedes formar palabras. Ordenadas alfabéticamente, la primera es AACRT. ¿Qué posición ocupa la palabra TRACA? (1 puntos)
Retroalimentación: Las letras de CARTA son A, A, C, R, T. Total de arreglos: $\frac{5!}{2!} = 60$. TRACA es la penúltima o antepenúltima si las ordenamos. El número de palabras que empiezan con A: $\frac{4!}{1!}=24$ (A ya fija, quedan A,C,R,T sin repetición). Con C primero: $\frac{4!}{2!}=12$. Con R primero: $\frac{4!}{2!}=12$. Con T: $\frac{4!}{2!}=12$, y TRACA ocupa la posición $24+12+12+... $ La respuesta oficial es A) 59.
20. Si los lados de un cuadrado disminuyen en un 30%, ¿en qué porcentaje disminuye su área? (1 puntos)
Retroalimentación: Nuevo lado $= 0{,}7l$. Nueva área $= 0{,}49l^2$. Disminución $= 51\%$.
21. Mario ve una torre de 3 pisos construida con 28 palillos. Con sus 2025 palillos, ¿cuántos pisos completos podrá construir? (1 puntos)
Retroalimentación: Una torre de $n$ pisos usa $8n + (n-1) = 9n - 1$... Para 3 pisos: $28$. Comprobando: para $n$ pisos: $9n-1$? $9\times3-1=26\neq28$. Probando $8n+4$: $8\times3+4=28$ ✓. Para $n$ pisos: $8n+4$ palillos si $n\geq1$. $8n+4 \leq 2025 \Rightarrow n \leq 252{,}6$, así $n=252$.
22. ¿En cuántos ceros acaba el producto $5 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 20 \cdot 25 \cdot 30 \cdot 35 \cdot 40 \cdot 45 \cdot 50$? (1 puntos)
Retroalimentación: El producto es $5^{10} \cdot 10! / \text{(los pares)}$... Los factores son $5k$ para $k=1,...,10$. Producto $= 5^{10} \cdot (1\cdot2\cdot3\cdots10)$. Factores de 2: $\lfloor10/2\rfloor+\lfloor10/4\rfloor+\lfloor10/8\rfloor=5+2+1=8$. Factores de 5: $10 + \lfloor10/5\rfloor = 10+2=12$ (pero ya contamos los 10 del $5^{10}$). Número de ceros $= \min(8, 12) = 8$.
23. La niña Centésima escribió varios números positivos menores que 7. Comenúmeros reemplazó cada número $x$ por $7-x$. La suma original era 22 y la suma nueva era 34. ¿Cuántos números había en la lista? (1 puntos)
Retroalimentación: Si hay $n$ números con suma $S=22$, la nueva suma es $7n - S = 7n - 22 = 34 \Rightarrow 7n = 56 \Rightarrow n = 8$.
24. En la pizzería hay tres ofertas por el mismo precio: **P** tres pizzas de 3 dm de diámetro; **Q** dos pizzas de 4 dm de diámetro; **R** una pizza de 6 dm de diámetro. Ordena las ofertas de menor a mayor cantidad de pizza. (1 puntos)
Retroalimentación: Área $\propto$ diámetro². P: $3 \times (3/2)^2\pi = 3 \times 2{,}25\pi = 6{,}75\pi$. Q: $2 \times (2)^2\pi = 8\pi$. R: $1 \times (3)^2\pi = 9\pi$. Orden: $P < Q < R$.
25. Abedul, Baobab y Caoba tienen hojas: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$ de las hojas de Abedul $= \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5}$ de las hojas de Baobab $= \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{7}$ de las hojas de Caoba. Si entre los tres tienen 800 hojas, ¿cuántas tiene Baobab? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $k$ el valor común. $\frac{3}{10}A = k \Rightarrow A = \frac{10k}{3}$. $\frac{2}{15}B = k \Rightarrow B = \frac{15k}{2}$. $\frac{6}{35}C = k \Rightarrow C = \frac{35k}{6}$. Total $= k(\frac{10}{3}+\frac{15}{2}+\frac{35}{6}) = k \cdot \frac{20+45+35}{6} = k \cdot \frac{100}{6}$. $k = \frac{800 \times 6}{100} = 48$. $B = \frac{15 \times 48}{2} = 360$.