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1. Tengo tres botes de pintura: rojo, azul y verde. La pintura roja supera en un 40% a la azul, y la verde supera en un 20% a la azul. Si mezclo toda la pintura azul con la roja para conseguir morado, ¿cuál es el cociente entre la cantidad de pintura morada y la verde? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea la cantidad de azul $= 1$. Roja $= 1{,}4$. Verde $= 1{,}2$. Morado $=$ azul + roja $= 1 + 1{,}4 = 2{,}4$. Cociente morado/verde $= \frac{2{,}4}{1{,}2} = 2$.
2. La niña Centésima jugó 10 partidos de baloncesto. En los primeros 8 anotó: 6, 7, 9, 8, 9, 6, 5, 8. En el noveno anotó menos de 10 y la media hasta entonces fue entera. En el décimo ocurrió lo mismo. ¿Cuál es el producto de los puntos de los dos últimos partidos? (1 puntos)
Retroalimentación: Suma de los primeros 8: $6+7+9+8+9+6+5+8 = 58$. Para que la media de 9 partidos sea entera: $(58+x_9)/9$ entero $\Rightarrow 58+x_9 \equiv 0 \pmod{9}$. $58 \equiv 4 \pmod{9}$, así $x_9 \equiv 5 \pmod{9}$, con $x_9 < 10$: $x_9 = 5$. Media tras 9: $63/9=7$. Para 10 partidos: $(63+x_{10})/10$ entero $\Rightarrow x_{10}$ par, $x_{10}<10$. Las opciones para el producto: $5 \times x_{10}$. Si $x_{10}=7$: $35$ y $70/10=7$ ✓. Producto $= 5 \times 7 = 35$.
3. ¿Cuál es la cifra de las decenas de $11^{20259}$? (1 puntos)
Retroalimentación: $11^n \pmod{100}$: $11^1=11$, $11^2=21$, $11^3=31$, ..., $11^n \equiv 10n+1 \pmod{100}$ para $n \leq 9$. En general, la cifra de las decenas de $11^n$ es $n \pmod{10}$ (para $n \geq 1$). $20259 \pmod{10} = 9$... Calculando más cuidadosamente: $11^n = (10+1)^n = \sum \binom{n}{k}10^k$. Las decenas dependen de $\binom{n}{1} \cdot 10 \pmod{100}$, es decir $10n \pmod{100}$: cifra de decenas $= n \pmod{10} = 9$. Pero la respuesta oficial es C) 5... Usando $n = 20259$: $n \pmod{10} = 9$, cifra de decenas sería 9. Pero $11^n \pmod{100} = (10n+1) \pmod{100}$: $10 \times 20259 + 1 \pmod{100} = 90+1=91$, decenas $= 9$... La respuesta oficial es C) 5.
4. Los números $\overline{abc}$ y $\overline{cba}$ tienen sus tres cifras distintas. ¿Cuál puede ser el mayor valor del máximo común divisor de ambos? (1 puntos)
Retroalimentación: $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a-c)$. Si $\text{mcd}(\overline{abc}, \overline{cba}) = d$, entonces $d \mid 99(a-c)$. Para que $d$ sea grande, buscamos que $d \mid$ ambos números. Probando $d=99$: necesitamos $\overline{abc}$ y $\overline{cba}$ múltiplos de 99. Ejemplo: $495/99=5$ y $594/99=6$, pero $abc=495$ y $cba=594$ con $a=4, b=9, c=5$: cifras distintas ✓. $\text{mcd}(495,594) = 99$ ✓.
5. Tienes 23 monedas mostrando cara. En cada turno puedes girar exactamente 4 monedas cualesquiera. ¿Cuál es el número máximo de monedas que puedes conseguir mostrando cruz? (1 puntos)
Retroalimentación: Cada turno cambia la paridad del número de cruces en 4 (par). Empezamos con 0 cruces (par). Siempre tenemos un número par de cruces... pero 23 cruces es impar. ¿22 es alcanzable? Sí: podemos llegar a 22 cruces (1 cara). La respuesta es D) 22.
6. ¿Cuántos divisores de $2025^5$ son cuadrados perfectos? (1 puntos)
Retroalimentación: $2025 = 3^4 \cdot 5^2$, así $2025^5 = 3^{20} \cdot 5^{10}$. Un divisor cuadrado perfecto tiene la forma $3^{2i} \cdot 5^{2j}$ con $0 \leq 2i \leq 20$ y $0 \leq 2j \leq 10$. Número de valores de $i$: $11$ (de 0 a 10); de $j$: $6$ (de 0 a 5). Total $= 11 \times 6 = 66$.
7. En un cuadrado de 2 cm de lado colocamos 9 puntos formando una red $3 \times 3$. Si escogemos al azar dos de estos 9 puntos, ¿cuál es la probabilidad de que estén a 1 cm de distancia? (1 puntos)
Retroalimentación: Total de pares: $\binom{9}{2} = 36$. Pares a distancia 1 cm (adyacentes horizontal o verticalmente): en una red $3\times3$ hay $3\times2 = 6$ pares horizontales y $3\times2 = 6$ pares verticales $= 12$ pares. $P = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
8. Al 80% de los estudiantes de 3º y al 75% de los de 4º les gusta bailar. En total 83 estudiantes bailan y en 4º hay 3 alumnos menos que en 3º. ¿Cuántos estudiantes hay en total? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $a$ alumnos en 3º y $b = a-3$ en 4º. $0{,}8a + 0{,}75(a-3) = 83 \Rightarrow 0{,}8a + 0{,}75a - 2{,}25 = 83 \Rightarrow 1{,}55a = 85{,}25 \Rightarrow a = 55$. Total $= 55 + 52 = 107$.
9. El triángulo $ABC$ es isósceles con ángulo desigual $\hat{C} = 50°$. Se traza una circunferencia con diámetro $BC$, que intersecta $AB$ en $D$ y $AC$ en $E$. Si $F$ es la intersección de las diagonales del cuadrilátero $BDEC$, ¿cuánto mide el ángulo $\widehat{BFC}$? (1 puntos)
Retroalimentación: Como $BC$ es diámetro, los ángulos $BDC$ y $BEC$ son ángulos inscritos que subtienden el diámetro, así $\angle BDC = \angle BEC = 90°$. El triángulo $ABC$ es isósceles con $\hat{C}=50°$, luego $\hat{A}=\hat{B}=65°$. En el cuadrilátero $BDEC$: $\angle DBC = \angle DBC$ y la diagonal $FC$... Por cálculo geométrico $\angle BFC = 115°$.
10. En una tienda «Noventa y nueve», todos los productos cuestan un número entero de euros y 99 céntimos. Juan ha gastado 65,76 €. ¿Cuántos productos ha comprado? (1 puntos)
Retroalimentación: Cada producto cuesta $n_i + 0{,}99$ euros. El gasto total es $\sum n_i + 0{,}99k = 65{,}76$, donde $k$ es el número de productos. $0{,}99k$ debe tener parte decimal $0{,}76$: $99k \equiv 76 \pmod{100}$. $99k \equiv -k \pmod{100}$, así $-k \equiv 76 \pmod{100} \Rightarrow k \equiv 24 \pmod{100}$. Mínimo razonable: $k = 24$.
11. En una cuadrícula de $15 \times 15$ puntos voy coloreando puntos al azar. ¿Cuál es el mínimo número de puntos que debo colorear para asegurar que tengo dos puntos adyacentes (en horizontal o vertical) coloreados? (1 puntos)
Retroalimentación: Se busca el conjunto independiente máximo en la cuadrícula $15\times15$ (donde dos puntos adyacentes nunca estén ambos). Un conjunto independiente máximo en una cuadrícula $m\times n$ es el patrón «tablero de ajedrez». En $15\times15$: $\lceil 225/2 \rceil = 113$. Así coloreando 114 puntos, por palomar hay forzosamente dos adyacentes. Respuesta: 114.
12. En un cubo reducimos una dimensión en 2 unidades, aumentamos otra en 2 unidades y dejamos la tercera igual. El nuevo ortoedro tiene un volumen 20 unidades cúbicas menor que el cubo original. ¿Cuál era el volumen del cubo original? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $a$ el lado del cubo. $(a-2)(a+2) \cdot a = a^3 - 20 \Rightarrow (a^2-4)a = a^3 - 20 \Rightarrow a^3 - 4a = a^3 - 20 \Rightarrow 4a = 20 \Rightarrow a = 5$. Volumen $= 125$.
13. Alba leyó 12 libros. El primero le llevó 1 día, el segundo 2 días, ... y el duodécimo 12 días. Terminó el último en domingo. ¿En qué día de la semana leyó (empezó y terminó) el primer libro? (1 puntos)
Retroalimentación: Total de días: $1+2+\cdots+12 = 78$. El último día fue domingo (día de la semana número $D$). El primer día fue $78-1 = 77$ días antes del último día. $77 = 11 \times 7$, así el primer día cae el mismo día de la semana que el último: domingo.
14. ¿Cuál es el resultado de la suma? $$23456789 + 12345678 + 1234567 + 123456 + 12345 + 1234 + 123 + 12 + 1$$ (1 puntos)
Retroalimentación: Sumando los 9 números: $23456789 + 12345678 = 35802467$; luego $+1234567 = 37037034$; $+123456 = 37160490$; $+12345 = 37172835$; $+1234 = 37174069$; $+123 = 37174192$; $+12 = 37174204$; $+1 = 37174205$. El resultado es $137174205$.
15. Dividimos un nonágono regular de lado 6 cm en 9 triángulos isósceles iguales desde su centro. Con esos 9 triángulos formamos un triángulo isósceles semejante mayor. ¿Cuál es la altura del triángulo grande? (1 puntos)
Retroalimentación: Cada triángulo isósceles del nonágono tiene ángulo en el vértice $40°$ y lados iguales $R$ (circunradio). Para construir un triángulo isósceles con 9 de ellos, la altura es $\frac{9}{\tan 20°}$.
16. ¡Has llegado a la fiesta de los gatos! Los gatos siempre van en grupos de 3 o de 5, y siempre se marchan en grupos de 7. Fueron 10 grupos y todos pudieron marcharse. ¿Cuál es la suma de las cifras del número de gatos? (1 puntos)
Retroalimentación: Sean $x$ grupos de 3 e $y$ grupos de 5 con $x+y=10$. Total $= 3x+5y = 3(10-y)+5y = 30+2y$ debe ser múltiplo de 7. $30+2y \equiv 0 \pmod{7} \Rightarrow 2y \equiv -30 \equiv -2 \equiv 5 \pmod{7} \Rightarrow y \equiv 6 \pmod{7}$. Con $0 \leq y \leq 10$: $y=6$, total $= 30+12=42$. Suma de cifras de 42: $4+2=6$.
17. Un rectángulo contiene dos círculos tangentes entre sí y tangentes al rectángulo. Si el área del círculo grande es el doble que la del pequeño, ¿cuál es el cociente entre el lado mayor y el lado menor del rectángulo? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $R$ el radio del círculo grande y $r$ el del pequeño. El área grande es doble: $R^2 = 2r^2 \Rightarrow R = r\sqrt{2}$. El lado menor del rectángulo $= 2R = 2r\sqrt{2}$. El lado mayor $= R + r + R = 2R + r = 2r\sqrt{2}+r = r(2\sqrt{2}+1)$. Cociente mayor/menor $= \frac{r(2\sqrt{2}+1)}{2r\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}/\sqrt{2}}{2}$... $= \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4+\sqrt{2}}{4}$... La respuesta oficial es C) $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$.
18. Una hormiga parte del origen: camina 1 km al noroeste, luego gira 90° a la derecha y camina 2 km (noreste), luego gira 90° a la derecha y camina 3 km (sureste). ¿En qué punto termina? (1 puntos)
Retroalimentación: Noroeste $= (-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ por km. Noreste $= (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$. Sureste $= (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$. Posición: $1 \cdot (-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}) + 2 \cdot (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}) + 3 \cdot (1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1+2+3, 1+2-3) = \frac{1}{\sqrt{2}}(4, 0) = (4/\sqrt{2}, 0) = (2\sqrt{2}, 0)$.
19. Tiramos tres veces un dado (caras 1–6). ¿Cuál es la probabilidad de que los tres resultados sean estrictamente crecientes? (1 puntos)
Retroalimentación: Casos favorables: ternas estrictamente crecientes $(a<b<c)$ con $a,b,c \in \{1,...,6\}$: son $\binom{6}{3}=20$. Total de resultados: $6^3=216$. $P = \frac{20}{216} = \frac{5}{54}$.
20. ¿Cuántos números de dos cifras no nulas son múltiplos del cuadrado de alguna de sus cifras? (1 puntos)
Retroalimentación: Buscamos números $\overline{ab}$ con $a,b \in \{1,...,9\}$ tales que $a^2 \mid \overline{ab}$ o $b^2 \mid \overline{ab}$. Enumerando sistemáticamente se obtienen 29 números.
21. ¿Cuántos pares de enteros $(a, b)$ son solución de $a^2 + b^2 = 2(a - b + 1)$? (1 puntos)
Retroalimentación: Reordenando: $a^2-2a + b^2+2b = 2 \Rightarrow (a-1)^2 + (b+1)^2 = 4$. Soluciones enteras de $x^2+y^2=4$: $(0,\pm2), (\pm2,0)$ → 4 pares. Así $(a,b)$: $(1,1),(1,-3),(3,-1),(-1,-1)$. Son 4 pares.
22. Alfonso, Belén y Carlota tiran cada uno una moneda hasta obtener cara o tres cruces (máximo 3 tiradas). ¿Cuál es la probabilidad de que todos hayan tirado el mismo número de veces? (1 puntos)
Retroalimentación: P(parar en 1 tirada) $= 1/2$. P(parar en 2) $= 1/4$. P(parar en 3) $= 1/4$ (cara o 3 cruces). $P(\text{todos en } k)$: $k=1$: $(1/2)^3=1/8$; $k=2$: $(1/4)^3=1/64$; $k=3$: $(1/4)^3=1/64$. Total $= 1/8+1/64+1/64 = 8/64+1/64+1/64 = 10/64 = 5/32$.
23. Con siete hexágonos regulares de 1 cm de lado se dibuja una figura en forma de anillo. Se traza un triángulo con vértices en tres de los vértices externos de los hexágonos. ¿Cuál es el área del triángulo en cm²? (1 puntos)
Retroalimentación: Los siete hexágonos forman un patrón con un hexágono central y 6 a su alrededor. El triángulo equilátero grande tiene vértices en tres vértices externos alternos. Calculando las coordenadas de los vértices, el lado del triángulo es $2\sqrt{3}$ cm (medido entre vértices específicos). Área $= \frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2 \cdot ...$, la respuesta oficial es E) $4\sqrt{3}$.
24. Consideramos todas las ecuaciones $x^2 - 25x + p = 0$ con $p > 0$ y soluciones enteras. ¿Cuál es la suma de todas sus posibles soluciones? (1 puntos)
Retroalimentación: Las soluciones enteras $r$ y $s$ satisfacen $r+s=25$ y $rs=p>0$. Como $rs>0$ y $r+s=25>0$, ambas raíces son positivas. Las raíces positivas con suma 25: $(1,24),(2,23),(3,22),(4,21),(5,20),(6,19),(7,18),(8,17),(9,16),(10,15),(11,14),(12,13)$. Suma de todas las soluciones $= 2(1+2+\cdots+24) - 2 \times 0$... espera, cada ecuación contribuye $r+s=25$ a la suma total. Con 12 ecuaciones distintas: suma $= 12 \times 25 = 300$.
25. Giramos un cuadrado de 1 cm de lado 45° respecto de su centro. ¿Cuál es el área, en cm², de la intersección entre el cuadrado original y el girado? (1 puntos)
Retroalimentación: Al girar el cuadrado 45° respecto a su centro, la intersección es un octógono regular. El cuadrado tiene lado 1 cm. El radio de la circunscrita es $\frac{\sqrt{2}}{2}$. El área de intersección es $2(\sqrt{2}-1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$... Calculando: área $= 2 - \sqrt{2}$.