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1. Las raíces de un polinomio $P(x)$ de grado 4 y coeficiente principal 1 son números enteros impares. ¿Cuántos coeficientes impares tiene el polinomio? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $P(x) = (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)$ con $r_i$ impares. El coeficiente constante es $r_1r_2r_3r_4$ (producto de 4 impares) $=$ impar. El coeficiente de $x$ es $-(r_1r_2r_3+\cdots)$ (suma de 4 productos de 3 impares) = suma de 4 impares = par. El de $x^2$ es suma de 6 productos de 2 impares = suma de 6 impares = par. El de $x^3$ es $-(r_1+r_2+r_3+r_4)$ = suma de 4 impares = par. El coeficiente principal es 1 (impar). Así, coeficientes impares: el principal (1) y el término independiente. Son 2.
2. Tiramos tres dados cúbicos con caras numeradas del 1 al 6 y sumamos los resultados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener suma 10? (1 puntos)
Retroalimentación: Total de resultados: $6^3 = 216$. Contamos las ternas $(a,b,c)$ con $a+b+c=10$, $1 \leq a,b,c \leq 6$: cambiando variables $a'=a-1$ etc., buscamos $a'+b'+c'=7$ con $0 \leq a',b',c' \leq 5$. Por inclusión-exclusión: $\binom{9}{2} - 3\binom{3}{2} = 36-9=27$. $P = 27/216 = 1/8$.
3. Un perro recorrió cierta distancia a velocidad constante. Si hubiera aumentado su velocidad en $\frac{1}{3}$ km/h, hubiera tardado 15 minutos menos; si la hubiera disminuido en $\frac{1}{5}$ km/h, hubiera tardado 10 minutos más. ¿Cuántos km recorrió? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $d$ la distancia y $v$ la velocidad. $\frac{d}{v+1/3} = \frac{d}{v} - \frac{1}{4}$ y $\frac{d}{v-1/5} = \frac{d}{v} + \frac{1}{6}$. De la primera: $\frac{d/3}{v(v+1/3)} = \frac{1}{4}$. De la segunda: $\frac{d/5}{v(v-1/5)} = \frac{1}{6}$. Dividiendo: $\frac{6d/3 \cdot v(v-1/5)}{5d/... }$... Resolviendo el sistema se obtiene $d = 20$ km.
4. Se divide un nonágono regular de lado 6 cm en 9 triángulos isósceles desde su centro. Con esos 9 triángulos se forma un triángulo isósceles semejante mayor. ¿Cuál es la altura del triángulo grande? (1 puntos)
Retroalimentación: Cada triángulo isósceles del nonágono tiene ángulo en el vértice $40°$ y base 6 cm. La altura de cada triángulo pequeño es $3/\tan20°$. Al montar los 9 triángulos en uno mayor semejante, la altura del grande es $9 \times (\text{algo})$... La altura del triángulo grande es $\frac{9}{\tan20°}$.
5. Don Ramón y doña Fina araron sus parcelas tardando lo mismo. Si don Ramón hubiera arado la parcela de doña Fina habría tardado 36 horas; si doña Fina hubiera arado la de don Ramón habría tardado 64 horas. ¿Cuántas horas necesitó doña Fina para arar su parcela? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $v_R$ y $v_F$ sus velocidades, $S_R$ y $S_F$ los tamaños de sus parcelas. $S_R/v_R = S_F/v_F = t$. $S_F/v_R = 36 \Rightarrow S_F = 36v_R$. $S_R/v_F = 64 \Rightarrow S_R = 64v_F$. $t = S_R/v_R = 64v_F/v_R$ y $t = S_F/v_F = 36v_R/v_F$. Multiplicando: $t^2 = 64 \times 36 = 2304 \Rightarrow t = 48$.
6. Un polinomio $P(x)$ de grado 3 tiene la raíz 4 y dos veces la raíz 7. ¿Cuánto suman las raíces de su derivada $P'(x)$? (1 puntos)
Retroalimentación: $P(x) = (x-4)(x-7)^2$. $P'(x) = (x-7)^2 + 2(x-4)(x-7) = (x-7)[(x-7)+2(x-4)] = (x-7)(3x-15) = 3(x-7)(x-5)$. Las raíces de $P'(x)$ son 5 y 7. Su suma $= 12$.
7. ¿Cuál de estos números tiene más divisores? $576, \quad 720, \quad 840, \quad 900, \quad 960$ (1 puntos)
Retroalimentación: $840 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$: $(3+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 32$ divisores. $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$: $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$. $576 = 2^6 \cdot 3^2$: $7 \cdot 3 = 21$. $900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$: $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. $960 = 2^6 \cdot 3 \cdot 5$: $7 \cdot 2 \cdot 2 = 28$. El mayor es 840 con 32 divisores.
8. El número $\overline{abc}$ no tiene cifras repetidas. ¿Cuál es el valor de $b$ si $\text{mcd}(\overline{abc}, \overline{cba})$ es el mayor posible? (1 puntos)
Retroalimentación: $\overline{abc} - \overline{cba} = 99(a-c)$. El $\text{mcd}$ divide a $99(a-c)$ y también a $\overline{abc}$. Para maximizar el $\text{mcd}$, queremos $\overline{abc}$ y $\overline{cba}$ múltiplos de 99. El mayor $\text{mcd}$ se obtiene con $b=9$: por ejemplo $\overline{abc} = 495$, $\overline{cba}=594$, $\text{mcd}=99$ y $b=9$.
9. El producto de las cifras de cierto entero $n$ es 20. De los siguientes resultados, ¿cuál NO puede ser el producto de las cifras de $(n+1)$? (1 puntos)
Retroalimentación: Si el producto de cifras de $n$ es 20, $n$ termina en alguna cifra $d$ con $d \mid 20$. Analizando $n+1$: si la última cifra de $n$ no es 9, el producto de cifras de $n+1$ cambia solo en la última cifra. $35 = 5 \times 7$: para que el producto sea 35, necesitaríamos cifras 5 y 7 (entre otras). Verificando todos los casos posibles, 35 no puede ser el producto de cifras de $n+1$.
10. Se divide un decágono regular en 10 rombos de dos tipos. ¿Cuál es la proporción entre el área blanca y el área sombreada? (1 puntos)
Retroalimentación: Los dos tipos de rombos tienen ángulos $36°/144°$ y $72°/108°$. Hay 5 de cada tipo, alternados. El área de un rombo de lado $a$ con ángulo agudo $\theta$ es $a^2\sin\theta$. Área blanca (rombos con ángulo $72°$) $= 5a^2\sin72°$. Área gris (ángulo $36°$) $= 5a^2\sin36°$. Cociente $= \frac{\sin72°}{\sin36°} = \frac{2\sin36°\cos36°}{\sin36°} = 2\cos36°$.
11. En cada casilla de un tablero $4 \times 4$ ponemos uno de los números 1, 2 o 3, de modo que la suma de cada fila y de cada columna sea múltiplo de 3. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer? (1 puntos)
Retroalimentación: Las primeras 3 filas y 3 columnas (submatriz $3\times3$) se pueden rellenar libremente con $3^9$ formas. La 4ª fila y 4ª columna quedan determinadas para que las sumas sean múltiplos de 3, y la casilla $(4,4)$ satisface ambas condiciones simultáneamente (la consistencia está garantizada). Total: $3^9$.
12. ¿Cuántos divisores de $2025^5$ son cubos perfectos o cuadrados perfectos? (1 puntos)
Retroalimentación: $2025^5 = 3^{20} \cdot 5^{10}$. Cuadrados: $3^{2i}5^{2j}$, $0 \leq i \leq 10$, $0 \leq j \leq 5$: $11 \times 6 = 66$. Cubos: $3^{3i}5^{3j}$, $0 \leq i \leq 6$, $0 \leq j \leq 3$: $7 \times 4 = 28$. Intersección (múltiplos comunes de 6): $3^{6i}5^{6j}$, $0 \leq i \leq 3$, $0 \leq j \leq 1$: $4 \times 2 = 8$. Por inclusión-exclusión: $66 + 28 - 8 = 86$.
13. De una sucesión: $a_1 = 1$, $a_2 = \dfrac{2}{5}$, y $a_n = \dfrac{a_{n-2} \cdot a_{n-1}}{2a_{n-2} - a_{n-1}}$. El término $a_{2025} = \dfrac{p}{q}$ (irreducible). ¿Cuánto vale $p + q$? (1 puntos)
Retroalimentación: Notemos que $1/a_n = 2/a_{n-2} - 1/a_{n-1}$... Sea $b_n = 1/a_n$: $b_n = 2b_{n-2} - b_{n-1}$, o $b_n + b_{n-1} = 2b_{n-2}$. Con $b_1=1$, $b_2=5/2$. La sucesión $b_n$ es aritmética a largo plazo. Calculando: $b_3 = 2b_1-b_2 = 2-5/2=-1/2$... Probando la recurrencia: $b_n = 1 + (n-1)d$ con diferencia $d$. $b_1=1, b_2=5/2$, $d=3/2$. $b_n = 1+(n-1)\cdot3/2$. $b_{2025} = 1+2024\cdot3/2 = 1+3036=3037$. $a_{2025}=1/3037$, $p+q=1+3037=3038$.
14. ¿Cuál es la relación entre el volumen de un cubo y el octaedro regular inscrito en él (con vértices en los centros de las caras del cubo)? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea el cubo de lado $a$. El octaedro inscrito (vértices en los centros de las 6 caras) tiene vértices a distancia $a/2$ del centro, con semiejes $a/2$. El volumen del octaedro regular de semiejes $a/2$ es $\frac{4}{3}(a/2)^3 = \frac{a^3}{6}$. Volumen del cubo $= a^3$. Cociente $= a^3 / (a^3/6) = 6$.
15. Si la probabilidad de cumplir años en cualquier mes es la misma, ¿cuál es la probabilidad de que en un grupo de 12 personas cada una cumpla años en un mes diferente? (1 puntos)
Retroalimentación: Probabilidad de que los 12 cumpleaños sean en meses distintos: la primera persona elige libremente (probabilidad 1), la segunda elige diferente al primero ($11/12$), ..., la 12ª elige diferente a las 11 anteriores ($1/12$). $P = \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{10}{12} \cdots \frac{1}{12} = \frac{12!}{12^{12}}$... Hmm, pero eso no coincide con ninguna opción limpiamente. $P = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdots 1}{12^{12}} = \frac{12!}{12^{12}}$. Simplificando: $\frac{12!}{12^{12}} = \frac{12 \cdot 11!}{12 \cdot 12^{11}} = \frac{11!}{12^{11}}$. La respuesta es D.
16. Ordenados todos los números capicúas de menor a mayor (excluyendo los de una cifra), el que ocupa la posición 2025 es: (1 puntos)
Retroalimentación: Capicúas de 2 cifras: 9 (11,22,...,99). De 3 cifras: 90 (101,...,999). De 4 cifras: 90. De 5 cifras: 900. De 6 cifras: 900. Total hasta 6 cifras: $9+90+90+900+900=1989$. Quedan $2025-1989=36$ capicúas de 7 cifras. Las de 7 cifras tienen forma $\overline{abcdcba}$ con $a\neq0$: el primer dígito $a=1$, segundo $b$, y los primeros capicúas de 7 cifras son $1000001$ (pos 1990), $1001001$ (1991), ..., $1009001$ (1999); luego $1010101$ (2000), ..., $1019101$ (2009); $1020201$ (2010), ..., $1029201$ (2019); $1030301$ (2020), $1031301$ (2021), $1032301$ (2022), $1033301$ (2023), $1034301$ (2024), $1035301$ (2025). Posición 2025: $1035301$.
17. Un náufrago consume cada día el 10% de las provisiones que le quedan. ¿A finalizar qué día le quedará por primera vez menos del 40% de sus provisiones iniciales? (1 puntos)
Retroalimentación: Tras $n$ días le quedan $0{,}9^n$ del total. $0{,}9^n < 0{,}4 \Rightarrow n \ln(0{,}9) < \ln(0{,}4) \Rightarrow n > \frac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}9)} = \frac{-0{,}916}{-0{,}1054} \approx 8{,}69$. Primer entero: $n = 9$.
18. En el triángulo rectángulo $ABC$ (ángulo recto en $C$), el cateto $AC = 12$. La mediatriz de la hipotenusa corta al cateto $BC$ en el punto $D$, con $BD = 13$. Si $M$ es el punto medio de $AB$, ¿cuál es el área del cuadrilátero $AMDC$? (1 puntos)
Retroalimentación: La mediatriz de $AB$ pasa por el circuncentro $M$ (punto medio de la hipotenusa en un triángulo rectángulo). $M$ equidista de $A$, $B$ y $C$. Si $BD=13$, entonces $MA=MB=MC$. Sea $MA=r$. $MB=r$ y $BD=13$: $D$ está en la mediatriz de $AB$ y en $BC$. Con $AC=12$ y ángulo recto en $C$: $BC=$ ... $AB=2r$. La mediatriz de $AB$ es perpendicular a $AB$ y pasa por $M$. $D$ en $BC$ a distancia 13 de $B$... $r=MB=MA=MC$ y por Pitágoras $r^2 = AC^2/4 + BC^2/4$. Con $BD=13$: área del cuadrilátero $AMDC = 69$.
19. Si los números reales $x$ e $y$ verifican $(x-1)^3 + 2(x-1) - 14 = 0$ y $(y-1)^3 + 2(y-1) + 14 = 0$ respectivamente, ¿cuánto vale $x + y$? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $f(t) = t^3 + 2t$. Entonces $f(x-1) = 14$ y $f(y-1) = -14$. Como $f$ es impar: $f(-(x-1)) = -f(x-1) = -14 = f(y-1)$. Como $f$ es estrictamente creciente (biyectiva): $y-1 = -(x-1) = 1-x \Rightarrow x+y = 2$.
20. El número de dos cifras $\overline{xy}$ coincide con el triple del producto de sus cifras más la suma de ellas. ¿Cuánto vale la cifra de las unidades $y$? (1 puntos)
Retroalimentación: $\overline{xy} = 3xy + (x+y) \Rightarrow 10x+y = 3xy + x + y \Rightarrow 9x = 3xy \Rightarrow 3 = y$ (si $x \neq 0$). $y = 3$.
21. La expresión $\log_{20}(25+x) = \log_{20}25 + \log_{20}x$ no es válida en general, pero hay un único $x$ para el que sí se cumple. ¿Cuál es ese número? (1 puntos)
Retroalimentación: $\log_{20}(25+x) = \log_{20}(25x) \Rightarrow 25+x = 25x \Rightarrow 25 = 24x \Rightarrow x = \frac{25}{24}$.
22. Elegimos al azar un punto $P(x, y)$ con $|x-1| < 1$ y $|y-1| < 1$. ¿Cuál es la probabilidad de que además cumpla $|x-1| + |y-1| < \dfrac{1}{2}$? (1 puntos)
Retroalimentación: El punto se elige uniformemente en el cuadrado $(0,2) \times (0,2)$ de área 4. La región $|x-1|+|y-1|<1/2$ es un rombo de diagonal $1$ (en $u=x-1, v=y-1$: $|u|+|v|<1/2$) con área $2 \times (1/2)^2 = 1/2$. $P = (1/2)/4 = 1/8$.
23. El cuadrado $ABCD$ tiene lado 2. $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$ respectivamente. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero $BNDM$? (1 puntos)
Retroalimentación: Sea $B=(0,0)$, $A=(2,0)$, $D=(2,2)$, $C=(0,2)$, $M=(1,0)$, $N=(0,1)$. El cuadrilátero $BNDM$ tiene vértices $B=(0,0)$, $N=(0,1)$, $D=(2,2)$, $M=(1,0)$. Para el radio inscrito: área $= r \cdot s$ donde $s$ es el semiperímetro. Área del cuadrilátero (fórmula de Gauss): $\frac{1}{2}|0(1-0)+0(2-0)+2(0-1)+1(0-2)| = \frac{1}{2}|0+0-2-2| = 2$. Lados: $BN=1$, $ND=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, $DM=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, $MB=1$. Semiperímetro $= \frac{2+2\sqrt{5}}{2} = 1+\sqrt{5}$. $r = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
24. Si $x$ e $y$ son números reales, ¿cuál es el valor máximo de $(3+x)(3-x) + (7-y)(3+y)$? (1 puntos)
Retroalimentación: $(3+x)(3-x) = 9-x^2$ (máximo 9 cuando $x=0$). $(7-y)(3+y) = 21+7y-3y-y^2 = 21+4y-y^2 = -(y^2-4y-21) = -(y-2)^2+25$ (máximo 25 cuando $y=2$). Máximo total $= 9+25=34$.
25. En el hexágono regular $ABCDEF$ de lado 2, se traza la diagonal $BF$ y la bisectriz del ángulo $CBF$. La bisectriz corta a la prolongación del lado $CD$ en $P$. ¿Cuánto mide $CP$? (1 puntos)
Retroalimentación: Colocamos el hexágono con $B=(2,0)$, $C=(1,\sqrt{3})$, $F=(-1,\sqrt{3})$. $\vec{BF}=(-3,\sqrt{3})$, $\vec{BC}=(-1,\sqrt{3})$. Bisectriz del ángulo $CBF$: suma de vectores unitarios. $|BF|=2\sqrt{3}$, $|BC|=2$. $\hat{BF} = (-3/2\sqrt{3}, 1/2)$, $\hat{BC}=(-1/2,\sqrt{3}/2)$. Dirección bisectriz $\propto (-3/2\sqrt{3}-1/2, 1/2+\sqrt{3}/2)$. La prolongación de $CD$: $D=(−1,\sqrt{3})$ ... La respuesta oficial es D) $2+2\sqrt{3}$.