Zentralizazio-neurriak
Zentralizazio-neurriek datu multzo bat laburbiltzen dute, datuak zein baliotan biltzen diren adieraziz. Hiru nagusiak batezbesteko aritmetikoa, mediana eta moda dira. Neurri bakoitzak informazio desberdina ematen du; horregatik komeni da elkarrekin aztertzea.
Batezbesteko aritmetikoa
Batezbestekoa kalkulatzeko, datu guztiak batu eta datu kopuruaz zatitu:
Adibidez, bost ikasleren notak $5, 7, 8, 7, 6$ badira, batura 33 da eta datu kopurua 5. Batezbestekoa $33:5=6{,}6$ da. Kontuan hartu datu guztiak, errepikatzen direnak barne.
Mediana
Mediana datuak txikienetik handienera ordenatu ondoren erdian dagoen balioa da.
- Datu kopurua bakoitia bada, erdiko balioa hartzen da.
- Datu kopurua bikoitia bada, erdiko bi balioen batezbestekoa kalkulatzen da.
Notak ordenatuta $5, 6, 7, 7, 8$ dira. Bost datu daude eta hirugarrena erdikoa da: mediana 7 da.
Beste adibide batean, $4, 7, 3, 6$ datuak ordenatuta $3, 4, 6, 7$ dira. Erdiko bi balioak 4 eta 6 dira; beraz, mediana $(4+6):2=5$ da.
Moda
Moda gehien errepikatzen den balioa da. Notetan 7 bi aldiz agertzen da eta gainerakoak behin; hortaz, moda 7 da. Bi balio edo gehiago maiztasun handienarekin berdinduta badaude, hainbat moda egon daitezke. Balio guztiak maiztasun berean agertzen badira, ez dago bereziki nabarmentzen den modarik.
Moda datu ez-numerikoekin ere erabil daiteke: kolore gogokoenak gorria, urdina eta urdina badira, moda urdina da.
Hiru neurriak alderatuz
| Neurria | Zer adierazten du? | Noten adibidea |
|---|---|---|
| Batezbestekoa | Datuen batura zati datu kopurua | 6,6 |
| Mediana | Datu ordenatuen erdiko balioa | 7 |
| Moda | Maiztasun handieneko balioa | 7 |
Batezbestekoak datu guztiak erabiltzen ditu, baina muturreko balioek nabarmen alda dezakete. Mediana ez da hain sentikorra; moda, berriz, baliorik ohikoena aurkitzeko erabilgarria da. Adibidez, $1, 2, 2, 3, 12$ multzoan batezbestekoa 4 da, mediana 2 eta moda 2: 12k batezbestekoa gorantz eramaten du.
Euskal Herriko soldatak
Ondoko taulan emandako soldatak tarteka bilduta daude. 7.560 € baino gutxiagoko soldatak baztertu ditugu; gainerakoetan guztira 285.371 behaketa dira. Datu indibidualak ez ditugunez, ezin ditugu hiru neurriak zehazki kalkulatu: grafikoko marrak estimazioak dira.
| Soldata-tartea | Maiztasuna |
|---|---|
| 7.560–15.120 € | 38.361 |
| 15.120–22.680 € | 50.707 |
| 22.680–30.240 € | 53.729 |
| 30.240–37.800 € | 46.817 |
| 37.800–45.360 € | 36.234 |
| 45.360–52.920 € | 24.827 |
| 52.920–60.480 € | 13.423 |
| 60.480–68.040 € | 6.939 |
| 68.040–75.600 € | 4.182 |
| 75.600–113.400 € | 7.688 |
| 113.400–151.200 € | 1.448 |
| 151.200 € baino gehiago | 1.016 |
Puntu bakoitza tarte baten erdian kokatu eta lerroen bidez lotu dugu. Tarteak ez dira zabalera berekoak; horregatik, puntuaren altuera maiztasuna zati tartearen zabalera da, 7.560 €-ko tarte batera egokituta. Hasierako (0, 0) puntua grafikoa hasteko gehitu dugu, eta ez du soldata-daturik adierazten. Azken tartea irekia denez, grafikoan 151.200–189.000 € gisa irudikatu da hipotesi gisa, ez benetako goiko muga gisa.
- Moda estimatua: 24.979,81 €. Tarte modalaren (22.680–30.240 €) eta ondoko tarteen maiztasunak erabiliz interpolatu dugu; datuekin ziur esan daitekeena tarte modala da, ez soldata modal zehatza.
- Mediana estimatua: 30.224,31 €. Erdiko behaketa tarte berean dago. Tarte horretan soldatak uniformeki banatuta daudela suposatuz interpolatu dugu.
- Batezbesteko estimatua: 34.105,12 €. Tarte bakoitzaren erdiko balioa erabili dugu, azken tarterako 170.100 € barne. Azken tartea irekia denez, batezbesteko erreala ezin da taula honetatik zehaztu, eta hipotesi horren araberakoa da.
Banaketa honetan estimatutako batezbestekoa mediana baino handiagoa da; soldata altuek batezbestekoa gorantz eraman dezakete. Ez dugu suposatzen soldatak banaketa normal bati jarraitzen diotenik.
Banaketa normala: hirurak bat datoz
Banaketa normalak kanpai simetriko baten forma du. Erdiko balioa da batezbestekoa; simetriagatik mediana ere han dago, eta kurbaren punturik altuena denez moda ere bai. Beraz, batezbestekoa = mediana = moda. Ondoko adibidean hirurak 0 dira; marra gorriak kokapen bera adierazten du.
Ez nahastu simetria normalitatearekin: banaketa simetriko orok ez du zertan moda bakarra izan, eta hiru neurriak ez dira beti bat etortzen.
Ohiko akatsak eta egiaztapena
- Mediana bilatu aurretik datuak ez ordenatzea.
- Batezbestekoan datu kopuru osoaz zatitu beharrean, balio desberdinen kopuruaz zatitzea.
- Moda eta batezbestekoa nahastea: moda datuetan agertzen da; batezbestekoak ez du zertan agertu.
Saiatu $2, 4, 4, 6, 9$ datuekin: batura 25 da, beraz batezbestekoa 5 da; mediana 4 da, eta moda ere 4.