1. Energía de un satélite
- $E_m < 0$: el satélite está ligado.
- $E_m = E_p/2 = -E_c$.
- Si el satélite pierde energía (rozamiento), su radio disminuye y su velocidad aumenta.
2. Energía para poner un satélite en órbita
(sin contar la energía cinética de rotación terrestre). Para pasar de una órbita a otra: $W = E_{m,2}-E_{m,1}$.
3. Ejemplos resueltos
Energía mecánica de un satélite de 500 kg en la órbita del ejemplo 1.
$E_m = -\dfrac{GMm}{2r} = -\dfrac{3{,}98\cdot10^{14}\cdot500}{2\cdot6{,}77\cdot10^{6}} \approx -1{,}47\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$
Energía necesaria para ponerlo en esa órbita desde la superficie.
$E_{m,sup} = -\dfrac{GMm}{R} = -3{,}13\cdot10^{10}$ J. $W = -1{,}47\cdot10^{10} + 3{,}13\cdot10^{10} \approx 1{,}66\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$
Un satélite en órbita circular de radio $r$ duplica su radio. ¿Cómo cambia su velocidad y su energía?
$v' = v/\sqrt2$ (disminuye). $E_m' = E_m/2$ (menos negativa, es decir, aumenta).
Calcula las energías cinética, potencial y mecánica de un satélite de 800 kg en una órbita de radio $r=3R_T$.
$E_c=\dfrac{GMm}{2r}=8{,}33\cdot10^{9}\ \mathrm{J}$; $E_p=-\dfrac{GMm}{r}=-1{,}67\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$; $E_m=-\dfrac{GMm}{2r}=-8{,}33\cdot10^{9}\ \mathrm{J}$
¿Qué energía hay que comunicar a un satélite de 1000 kg para llevarlo de una órbita a 300 km de altura a otra a 1000 km?
$\Delta E=E_{m,2}-E_{m,1}=\dfrac{GMm}{2}\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)$ con $r_1=6{,}67\cdot10^{6}$ m y $r_2=7{,}37\cdot10^{6}$ m.
$\Delta E\approx2{,}84\cdot10^{9}\ \mathrm{J}$
Un satélite de 500 kg tiene una energía mecánica de $-4\cdot10^{9}$ J. ¿Cuál es el radio de su órbita?
$E_m=-\dfrac{GMm}{2r}\Rightarrow r=\dfrac{GMm}{2|E_m|}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot500}{2\cdot4\cdot10^{9}}\approx2{,}49\cdot10^{7}\ \mathrm{m}$
4. Errores frecuentes
- Usar la altura en vez del radio orbital en $v$ y $T$.
- Pensar que un satélite en órbita "no tiene gravedad": la gravedad es justo la fuerza centrípeta; los astronautas "flotan" por estar en caída libre.
Contenido ampliado de los apuntes completos
Aplicaciones y fenómenos gravitatorios
Satélites artificiales
Los satélites se clasifican según su órbita:
- LEO (Low Earth Orbit): 160-2000 km de altura
- MEO (Medium Earth Orbit): 2000-35,786 km de altura
- GEO (Geostationary Orbit): 35,786 km de altura (período = 24 horas)
Mareas
Las mareas son causadas por la diferencia en la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna (y en menor medida el Sol) sobre diferentes partes de la Tierra.
Puntos de Lagrange
Son posiciones en el espacio donde las fuerzas gravitatorias de dos cuerpos masivos (como la Tierra y el Sol) se equilibran con la fuerza centrífuga, permitiendo que un objeto permanezca en una posición estable relativa a ambos cuerpos.
Tipos de problemas EVAU
- Aplicación de las leyes de Kepler a sistemas planetarios
- Cálculo de fuerzas gravitatorias entre masas
- Determinación de campos gravitatorios y potenciales
- Análisis de movimientos orbitales (velocidad, período, energía)
- Cálculo de velocidades de escape
- Problemas de satélites artificiales y transferencia de órbitas (idea general)
- Comparación entre diferentes planetas o lunas
- Aplicación del principio de conservación de la energía