1. Órbita circular

La fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:

$$ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$

Cuanto mayor es el radio, menor es la velocidad y mayor el período. Ni $v$ ni $T$ dependen de la masa del satélite.

2. Satélite geoestacionario

Su período coincide con el de rotación terrestre ($T = 24$ h) y orbita sobre el ecuador, por lo que parece fijo en el cielo. Su radio se obtiene de la 3ª ley de Kepler con $T = 86400$ s.

3. Ejemplos resueltos

Velocidad y período de un satélite a 400 km de altura (como la ISS).

$r = 6{,}77\cdot10^{6}$ m. $v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{5{,}88\cdot10^{7}} \approx 7670\ \mathrm{m/s}$. $T = 2\pi r/v \approx 5547\ \mathrm{s} \approx 92{,}5$ min.

Altura de un satélite geoestacionario.

$r^3 = \dfrac{GM\,T^2}{4\pi^2} = \dfrac{3{,}98\cdot10^{14}\cdot 86400^2}{4\pi^2} \Rightarrow r \approx 4{,}22\cdot10^{7}$ m. $h = r - R_T \approx 3{,}58\cdot10^{7}$ m ≈ 35 800 km.

Calcula la velocidad orbital y el período de la Luna, a $3{,}84\cdot10^{8}$ m del centro de la Tierra.

$v=\sqrt{\dfrac{GM_T}{r}}=1020\ \mathrm{m/s}$; $T=\dfrac{2\pi r}{v}=2{,}37\cdot10^{6}\ \mathrm{s}\approx27{,}4$ días.

Fobos orbita Marte a $9{,}38\cdot10^{6}$ m del centro con un período de 7,65 h. Calcula la masa de Marte.

$M=\dfrac{4\pi^2r^3}{GT^2}=\dfrac{4\pi^2(9{,}38\cdot10^{6})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}(27540)^2}\approx6{,}44\cdot10^{23}\ \mathrm{kg}$

Calcula la velocidad y el período de un satélite que orbita a 1000 km de altura sobre la Tierra.

$r=R_T+h=7{,}37\cdot10^{6}$ m. $v=\sqrt{GM/r}\approx7350\ \mathrm{m/s}$; $T=\dfrac{2\pi r}{v}\approx6{,}30\cdot10^{3}\ \mathrm{s}\ (105\ \mathrm{min})$

Contenido ampliado de los apuntes completos

Movimiento Orbital

Velocidad orbital

Para un movimiento circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:

$$ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} $$

De donde se obtiene la velocidad orbital:

$$ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} $$

Ecuación vis-viva (órbita elíptica)

Relaciona la velocidad con la distancia al foco y el semieje mayor $a$:

$$ v^2 = GM\left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) $$

Período orbital

$$ T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} $$

Esta ecuación demuestra la tercera ley de Kepler:

$$ T^2 \propto r^3 $$

Velocidad de escape

La velocidad mínima necesaria para que un objeto escape completamente del campo gravitatorio:

$$ v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} $$

Para la Tierra:

$$ v_e \approx 11.2 \text{ km/s} $$

Energía total en órbita

Para un objeto en órbita circular:

$$ E_{total} = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r} = -\frac{GMm}{2r} $$

La energía total es negativa, indicando que el objeto está ligado gravitatoriamente.

1. Si un satélite aumenta el radio de su órbita circular: (1 punto)

2. Un satélite geoestacionario: (1 punto)

3. Problemas numéricos (G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²; M_T = 5,97·10²⁴ kg; R_T = 6370 km; g₀ = 9,8 m/s²): (6 puntos)

a ) Velocidad orbital (m/s) de un satélite con r = 2·R_T.

b ) Período (en s) de ese satélite.

c ) Radio orbital (en 10⁷ m) de un satélite geoestacionario.

d ) Velocidad orbital (m/s) de un satélite geoestacionario (r = 4,22·10⁷ m).

e ) Período (horas) de un satélite con radio orbital r = 4·R_T.

f ) Velocidad orbital (km/s) de un satélite a 1000 km de altura.

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Campo gravitatorio (parte 5/6)

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