1. Conservación de la energía mecánica
Si solo actúa la gravedad: $E_c + E_p = \text{cte}$:
2. Velocidad de escape
Es la velocidad mínima para llegar al infinito con velocidad nula ($E_m = 0$):
Para la Tierra: $v_e \approx 11{,}2\ \mathrm{km/s}$. No depende de la masa del objeto.
3. Ejemplos resueltos
Trabajo necesario para elevar un cohete de 1000 kg desde la superficie hasta $h = R_T$.
$W = \Delta E_p = GMm\left(\dfrac1R - \dfrac1{2R}\right) = \dfrac{GMm}{2R} = \dfrac{3{,}98\cdot10^{14}\cdot10^{3}}{2\cdot6{,}37\cdot10^{6}} \approx 3{,}13\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$
Velocidad con la que llega a la superficie un objeto que cae desde el reposo desde $h = R_T$ (sin rozamiento).
$-\dfrac{GMm}{2R} = \tfrac12 mv^2 - \dfrac{GMm}{R} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} \approx 7{,}9\ \mathrm{km/s}$
Se lanza un objeto verticalmente desde la superficie terrestre con $v_0=5000$ m/s. Calcula la altura máxima que alcanza.
Conservación de la energía: $\tfrac12v_0^2-\dfrac{GM}{R_T}=-\dfrac{GM}{r_{max}}$.
$r_{max}=\dfrac{GM}{\dfrac{GM}{R_T}-\tfrac12v_0^2}=7{,}96\cdot10^{6}\ \mathrm{m}\Rightarrow h=r_{max}-R_T\approx1{,}59\cdot10^{6}\ \mathrm{m}$
Calcula la velocidad de escape de la Luna ($M_L=7{,}35\cdot10^{22}$ kg, $R_L=1{,}74\cdot10^{6}$ m).
$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM_L}{R_L}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{1{,}74\cdot10^{6}}}\approx2370\ \mathrm{m/s}$
Un cohete se lanza desde la superficie terrestre con 12 km/s. ¿Con qué velocidad llega al infinito?
$\tfrac12v_\infty^2=\tfrac12v_0^2-\dfrac{GM}{R_T}\Rightarrow v_\infty=\sqrt{v_0^2-2GM/R_T}=\sqrt{(1{,}2\cdot10^{4})^2-1{,}25\cdot10^{8}}\approx4360\ \mathrm{m/s}$
4. Errores frecuentes
- Olvidar el signo negativo de $E_p$ y $V$.
- Calcular $\Delta E_p = mg h$ cuando $h$ no es pequeña frente a $R$: hay que usar $-GMm/r$.