1. Fuerza conservativa

La fuerza gravitatoria es conservativa: el trabajo entre dos puntos no depende de la trayectoria. Por ello existe una energía potencial asociada, y el trabajo del campo es:

$$ W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_{p,A} - E_{p,B} $$

2. Energía potencial y potencial

$$ E_p = -\frac{GMm}{r} \qquad V = \frac{E_p}{m} = -\frac{GM}{r} $$
  • El origen de energías se toma en el infinito: $E_p(\infty)=0$.
  • Es siempre negativa: el campo es atractivo y se necesita aportar energía para alejarse.
  • Relación con el campo: $g = -\dfrac{dV}{dr}$. Las superficies equipotenciales son esferas concéntricas y $\vec g$ es perpendicular a ellas.
  • Trabajo externo para mover una masa de A a B: $W_{ext} = m(V_B - V_A)$.

3. Ejemplos resueltos

Energía potencial de un satélite de 500 kg a 400 km de altura.

$r = 6370 + 400 = 6770$ km. $E_p = -\dfrac{GMm}{r} = -\dfrac{3{,}98\cdot10^{14}\cdot500}{6{,}77\cdot10^{6}} \approx -2{,}94\cdot10^{10}\ \mathrm{J}$

Potencial gravitatorio a una altura igual al radio terrestre.

$r = 2R_T = 1{,}274\cdot10^{7}$ m. $V = -\dfrac{GM}{r} = -\dfrac{3{,}98\cdot10^{14}}{1{,}274\cdot10^{7}} \approx -3{,}13\cdot10^{7}\ \mathrm{J/kg}$

Calcula el trabajo que realiza el campo gravitatorio terrestre cuando un objeto de 200 kg se acerca desde $r=2R_T$ hasta $r=1{,}5R_T$.

$W=-\Delta E_p=E_{p,i}-E_{p,f}=GMm\left(\dfrac{1}{r_f}-\dfrac{1}{r_i}\right)=2{,}08\cdot10^{9}\ \mathrm{J}$, positivo porque el campo favorece el acercamiento.

Calcula el potencial gravitatorio en el punto medio entre dos masas de $2\cdot10^{10}$ kg separadas 4 m.

Cada masa está a 2 m: $V=-2\dfrac{GM}{r}=-2\cdot\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2\cdot10^{10}}{2}=-1{,}33\ \mathrm{J/kg}$

Contenido ampliado de los apuntes completos

Energía en el Campo Gravitatorio

Energía potencial gravitatoria

La energía potencial gravitatoria de una masa $m$ en el campo de una masa $M$ a una distancia $r$ es:

$$ E_p = -G \frac{Mm}{r} $$

El signo negativo indica que:

  • Es una energía de ligadura
  • Se necesita energía para separar las masas hasta el infinito
  • La energía potencial es cero en el infinito

Trabajo en el campo gravitatorio

El trabajo realizado por fuerzas externas para mover una masa entre dos radios depende solo del estado inicial y final (campo conservativo):

$$ W_{ext} = \Delta E_p = -\int_{r_i}^{r_f} \vec{F} \cdot d\vec{r} = GMm\left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i}\right) $$

Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa:

$$ V = \frac{E_p}{m} = -G \frac{M}{r} $$

La unidad es J/kg, que es equivalente a m²/s².

Relación entre campo y potencial

$$ \vec{g} = -\nabla V $$

En una dimensión:

$$ g = -\frac{dV}{dr} $$

1. La energía potencial gravitatoria entre dos masas es: (1 punto)

2. El potencial gravitatorio en un punto es: (1 punto)

3. Problemas numéricos (G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²; M_T = 5,97·10²⁴ kg; R_T = 6370 km; g₀ = 9,8 m/s²): (5 puntos)

a ) Potencial gravitatorio terrestre en la superficie, en 10⁷ J/kg (valor absoluto).

b ) Energía potencial (en 10¹⁰ J, valor absoluto) de 500 kg a una distancia r = 2·R_T del centro.

c ) Energía potencial (en 10⁹ J, valor absoluto) de 100 kg en la superficie terrestre.

d ) Potencial gravitatorio (en 10⁷ J/kg, valor absoluto) a una altura h = R_T/2.

e ) Trabajo (en 10⁸ J) del campo al acercar 200 kg de r = 2·R_T a r = 1,5·R_T.

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