1. Ley de gravitación universal

Dos masas puntuales se atraen con una fuerza central, proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$$ \vec F = -G\,\frac{M\,m}{r^2}\,\vec u_r \qquad G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2} $$

2. Intensidad del campo gravitatorio

La intensidad $\vec g$ es la fuerza por unidad de masa en un punto: $\vec g = \vec F/m$.

$$ \vec g = -\frac{GM}{r^2}\,\vec u_r $$
  • En la superficie: $g_0 = \dfrac{GM}{R^2}$ (para la Tierra $\approx 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$).
  • A una altura $h$: $g = \dfrac{GM}{(R+h)^2} = g_0\left(\dfrac{R}{R+h}\right)^2$.
  • Principio de superposición: el campo de varias masas es la suma vectorial de los campos de cada una.

3. Ejemplos resueltos

Fuerza entre la Tierra ($5{,}97\cdot10^{24}$ kg) y la Luna ($7{,}35\cdot10^{22}$ kg), a $3{,}84\cdot10^{8}$ m.

$F = G\dfrac{Mm}{r^2} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{5{,}97\cdot10^{24}\cdot 7{,}35\cdot10^{22}}{(3{,}84\cdot10^{8})^2} \approx 1{,}99\cdot10^{20}\ \mathrm{N}$

Gravedad en la superficie de Marte ($M = 6{,}42\cdot10^{23}$ kg, $R = 3{,}39\cdot10^{6}$ m).

$g = \dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6{,}42\cdot10^{23}}{(3{,}39\cdot10^{6})^2} \approx 3{,}73\ \mathrm{m/s^2}$

¿A qué altura sobre la superficie terrestre $g$ vale la cuarta parte de $g_0$?

$g = g_0/4 \Rightarrow \left(\dfrac{R}{R+h}\right)^2 = \dfrac14 \Rightarrow R+h = 2R \Rightarrow h = R = 6370\ \mathrm{km}$

Calcula la gravedad en la superficie de la Luna ($M_L=7{,}35\cdot10^{22}$ kg, $R_L=1{,}74\cdot10^{6}$ m) y compárala con la terrestre.

$g_L=\dfrac{GM_L}{R_L^2}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{(1{,}74\cdot10^{6})^2}\approx1{,}62\ \mathrm{m/s^2}$, aproximadamente $\dfrac{1}{6}$ de $g_0$.

¿En qué punto de la recta Tierra-Luna se anula la intensidad del campo gravitatorio? Distancia entre centros: $3{,}84\cdot10^{8}$ m.

A una distancia $x$ de la Tierra: $\dfrac{GM_T}{x^2}=\dfrac{GM_L}{(d-x)^2}\Rightarrow\dfrac{x}{d-x}=\sqrt{\dfrac{M_T}{M_L}}=9{,}01$.

$x=\dfrac{9{,}01}{1+9{,}01}d\approx3{,}46\cdot10^{8}\ \mathrm{m}$ del centro de la Tierra.

Dos masas de $4\cdot10^{9}$ kg están en los puntos $(-3,0)$ m y $(3,0)$ m. Calcula el campo gravitatorio en $(0,4)$ m.

Distancia a cada masa: $r=5$ m. Cada una crea $g_1=\dfrac{GM}{r^2}=1{,}07\cdot10^{-2}\ \mathrm{m/s^2}$.

Las componentes horizontales se anulan y las verticales se suman: $g=2g_1\cdot\dfrac{4}{5}=1{,}71\cdot10^{-2}\ \mathrm{m/s^2}$, dirigido hacia $-y$.

4. Errores frecuentes

  • Confundir $G$ (constante universal) con $g$ (intensidad del campo).
  • Usar $h$ en lugar de $r = R + h$ en las fórmulas.
  • Olvidar que la masa del cuerpo que siente el campo no aparece en $g$.

Contenido ampliado de los apuntes completos

Gravitación Universal

Finalmente Isaac Newton fue capaz de relacionar la fuerza que hacía que giraran los objetos del universo con la fuerza que experimentamos constantemente y nos atrae a la tierra. Esto fue posible en gran parte al desarrollo del cálculo matemático (derivadas e integrales) cuyo descubrimiento se disputa con Leibniz.

Aunque está muy extendido que Newton se dio cuenta de esto gracias al mito de la manzana no es cierto. Y posteriormente se pudo medir y comprobar obteniendo la constante de gravitación universal G (experimento de Cavendish).

Ley de Gravitación Universal

$$ F_G = G \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2} $$

En forma vectorial:

$$ \vec{F}_G = -G \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2} \hat{u}_r $$

Donde:

  • $G$ es la constante de gravitación universal: $G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2$
  • $M_1$, $M_2$ son las masas de los dos cuerpos
  • $r$ es la distancia entre los centros de masa
  • $\hat{u_r}$ es el vector unitario en la dirección de la línea que une los centros

El signo negativo indica que la fuerza es atractiva, dirigida hacia el centro del cuerpo que causa la atracción.

Principio de superposición

Cuando hay más de dos masas, la fuerza total sobre cualquier masa es la suma vectorial de las fuerzas debidas a todas las demás masas:

$$ \vec{F}_{total} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \ldots $$

Campo Gravitatorio

El campo gravitatorio es una propiedad del espacio que rodea a cualquier masa. Representa la fuerza gravitatoria por unidad de masa que experimentaría cualquier objeto colocado en ese punto.

$$ \vec{g} = \frac{\vec{F}_G}{m} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r $$

Las unidades del campo gravitatorio son N/kg, que es equivalente a m/s² (aceleración).

Campo gravitatorio terrestre

En la superficie de la Tierra, el campo gravitatorio es aproximadamente:

$$ g = G \frac{M_{Tierra}}{R_{Tierra}^2} \approx 9.8 \text{ m/s}^2 $$

A una altura $h$ sobre la superficie:

$$ g(h) = G \frac{M_{Tierra}}{(R_{Tierra} + h)^2} $$

Principio de superposición para el campo

$$ \vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 + \vec{g}_3 + \ldots $$

1. Si se duplica la distancia entre dos masas, la fuerza gravitatoria: (1 punto)

2. Si se duplica la masa de un planeta manteniendo su radio, la gravedad en su superficie: (1 punto)

3. Problemas numéricos (G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²; M_T = 5,97·10²⁴ kg; R_T = 6370 km; g₀ = 9,8 m/s²): (5 puntos)

a ) Fuerza (en N) entre dos masas de 1000 kg y 2000 kg separadas 2 m. Da el resultado en unidades de 10⁻⁵ N.

b ) Valor de g (m/s²) a una altura h = R_T/2 sobre la superficie terrestre.

c ) Valor de g (m/s²) a una altura h = R_T sobre la superficie terrestre.

d ) Masa de la Tierra (en 10²⁴ kg) calculada con g₀ = 9,8 m/s² y R_T = 6370 km.

e ) Fuerza (en 10⁻⁵ N) entre dos masas de 5000 kg separadas 10 m.

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