Leyes de Kepler

1. Leyes de Kepler

1. Ley de las órbitas: los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos. 2. Ley de las áreas: el radio vector Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Equivale a que el momento angular $\vec L = \vec r \times m\vec v$ es constante (fuerza central). 3. Ley de los períodos: $T^2 = K\,a^3$, donde $a$ es el semieje mayor. Para órbitas circulares $K = \dfrac{4\pi^2}{GM}$.

$$ \frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} $$

Consecuencia de la 2ª ley: el planeta va más rápido en el perihelio (punto más cercano) y más lento en el afelio: $r_p v_p = r_a v_a$.

2. Ejemplos resueltos

Marte tarda 1,88 años en orbitar el Sol. Calcula su distancia media sabiendo que la Tierra está a $1{,}5\cdot10^{11}$ m.

Por la 3ª ley: $a_M = a_T\left(\dfrac{T_M}{T_T}\right)^{2/3} = 1{,}5\cdot10^{11}\cdot 1{,}88^{2/3} \approx 2{,}28\cdot10^{11}\ \mathrm{m}$

Un cometa pasa por el perihelio a $1{,}20\cdot10^{11}$ m con una velocidad de $5{,}00\cdot10^{4}$ m/s y su afelio está a $6{,}00\cdot10^{12}$ m del Sol. Calcula su velocidad en el afelio.

La fuerza es central, luego se conserva el momento angular: $r_p v_p = r_a v_a$.

$v_a=\dfrac{r_p v_p}{r_a}=\dfrac{1{,}20\cdot10^{11}\cdot5{,}00\cdot10^{4}}{6{,}00\cdot10^{12}}=1000\ \mathrm{m/s}$

Con el período y el radio de la órbita terrestre ($T=3{,}16\cdot10^{7}$ s, $a=1{,}50\cdot10^{11}$ m) calcula la masa del Sol.

De $T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$:

$M=\dfrac{4\pi^2a^3}{GT^2}=\dfrac{4\pi^2(1{,}50\cdot10^{11})^3}{6{,}67\cdot10^{-11}(3{,}16\cdot10^{7})^2}\approx2{,}01\cdot10^{30}\ \mathrm{kg}$

Júpiter tarda 11,86 años en dar una vuelta al Sol. Calcula su distancia media al Sol en UA.

Con la 3.ª ley en unidades de años y UA ($T^2=a^3$): $a=T^{2/3}=11{,}86^{2/3}\approx5{,}20\ \mathrm{UA}$

Contenido ampliado de los apuntes completos

Desde el inicio de los tiempos los humanos se han fijado en cómo se mueven los objetos celestes. En el siguiente video Carl Sagan nos explica cómo veían el cielo civilizaciones antiguas y como Johannes Kepler comenzó a entender su movimiento matemáticamente. Puedes explorar el cielo con aplicaciones como Stellarium.

Primera ley de Kepler: Ley de las órbitas

Los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos.

Una elipse se caracteriza por tener dos focos. La excentricidad de la órbita determina qué tan "aplastada" es la elipse:

Excentricidad = 0: Órbita circular
0 < Excentricidad < 1: Órbita elíptica
Excentricidad = 1: Órbita parabólica
Excentricidad > 1: Órbita hiperbólica

Segunda ley de Kepler: Ley de las áreas

Los planetas recorren áreas iguales en tiempos iguales.

$$ \frac{dA}{dt} = \text{constante} $$

Esta ley es una manifestación de la conservación del momento angular:

$$ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m \vec{r} \times \vec{v} = \text{constante} $$

$$ \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 $$

Como consecuencia, cuando el planeta está más cerca del Sol (perihelio), su velocidad es mayor que cuando está más lejos (afelio).

Tercera ley de Kepler: Ley de los períodos

El cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.

$$ \frac{T^2}{a^3} = \text{constante} $$

Para órbitas circulares, esta constante se puede expresar como:

$$ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} $$

Donde G es la constante de gravitación universal y M es la masa del cuerpo central.

Resumen de Fórmulas

Leyes fundamentales

Ley de Gravitación Universal: $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$
Campo gravitatorio: $\vec{g} = -G\frac{M}{r^2}\hat{u}_r$ (N/kg = m/s²)
Energía potencial: $E_p = -G\frac{Mm}{r}$ (J)
Potencial gravitatorio: $V = -G\frac{M}{r}$ (J/kg = m²/s²)
Vis-viva: $v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)$

Leyes de Kepler

Primera ley: Órbitas elípticas con el Sol en un foco
Segunda ley: $\frac{dA}{dt} = \text{constante}$ (conservación del momento angular)
Tercera ley: $\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$

Movimiento orbital

Velocidad orbital: $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
Período orbital: $T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
Velocidad de escape: $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$
Energía total orbital: $E = -\frac{GMm}{2r}$

Constantes importantes

Constante de gravitación universal: $G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2$
Masa de la Tierra: $M_T = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$
Radio de la Tierra: $R_T = 6.37 \times 10^6 \text{ m}$
Aceleración gravitatoria terrestre: $g = 9.8 \text{ m/s}^2$

1. Según la 2ª ley de Kepler, un planeta se mueve con mayor velocidad en: (1 punto)

El afelio El perihelio Los extremos del eje menor Es constante

Retroalimentación:

2. El momento angular de un planeta respecto al Sol se conserva porque: (1 punto)

La fuerza gravitatoria es central La velocidad del planeta es constante La órbita es siempre circular El Sol no se mueve

Retroalimentación:

3. Problemas numéricos (G = 6,67·10⁻¹¹ N·m²/kg²; M_T = 5,97·10²⁴ kg; R_T = 6370 km; g₀ = 9,8 m/s²): (5 puntos)

a ) Un planeta orbita a 4 UA del Sol. ¿Cuál es su período en años?

b ) Dos satélites: el A tiene período 8 días y radio orbital r. ¿Qué período (días) tiene uno de radio 4r?

c ) Período (años) de un planeta cuya órbita tiene un semieje de 9 UA.

d ) Semieje mayor (UA) de un asteroide con un período de 8 años.

e ) Un planeta tiene r_p = 1·10¹¹ m y v_p = 3·10⁴ m/s. Velocidad (m/s) en el afelio, a 1,5·10¹¹ m.

Retroalimentación:

4. ¿Qué establece la ley de gravitación universal de Newton? (1 puntos)

La fuerza gravitatoria es proporcional a la masa de un solo cuerpo La fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia La fuerza gravitatoria solo actúa entre planetas La fuerza gravitatoria depende de la velocidad de los cuerpos

Retroalimentación: La ley de gravitación universal establece que $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, donde la fuerza es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

5. La primera ley de Kepler establece que: (1 puntos)

Los planetas se mueven en órbitas circulares perfectas Los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos La velocidad orbital es constante El período orbital depende solo de la masa del planeta

Retroalimentación: La primera ley de Kepler (ley de las órbitas) establece que todos los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse.

6. ¿Qué representa la intensidad de campo gravitatorio? (1 puntos)

La fuerza por unidad de masa La energía por unidad de masa El trabajo por unidad de masa La aceleración por unidad de masa

Retroalimentación: La intensidad de campo gravitatorio $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$ representa la fuerza gravitatoria que experimenta la unidad de masa en un punto del campo. Sus unidades son N/kg o m/s².

7. Calcula los siguientes valores para el sistema Tierra-Luna: (4 puntos)

a ) Si la masa de la Tierra es $5.97 \times 10^{24}$ kg y su radio $6.37 \times 10^6$ m, calcula la intensidad del campo gravitatorio en la superficie terrestre (en m/s²). Usa $ G = 6.67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg²

b ) Calcula la velocidad de escape de la Tierra en km/s

c ) Si un satélite orbita a 400 km de altura sobre la superficie terrestre, calcula su velocidad orbital en km/s

d ) Calcula el período orbital del satélite anterior en minutos

Retroalimentación: Para el campo gravitatorio: $g = \frac{GM}{R^2}$. Para la velocidad de escape: $v_e = \sqrt{\ \frac{2GM}{R}}$. Para la velocidad orbital: $v = \sqrt{\ \frac{GM}{r}}$ donde r es la distancia al centro. Para el período: $T = \frac{2\pi r}{v}$.

8. Según la tercera ley de Kepler, si duplicamos el radio de la órbita de un planeta, su período: (1 puntos)

Se duplica Se cuadruplica Se multiplica por $2\sqrt{2}$ Se multiplica por 8

Retroalimentación: La tercera ley de Kepler establece que $T^2 \propto r^3$, por lo que $ T \propto r^{3/2}$. Si $ r' = 2r$, entonces $ T' = T \cdot 2^{3/2} = T \cdot 2\sqrt{2}$.

9. La energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m a una distancia r del centro de un cuerpo de masa M es: (1 puntos)

$E_p = \frac{GMm}{r}$ $E_p = -\ \frac{GMm}{r}$ $E_p = \frac{GMm}{r^2}$ $E_p = -\ \frac{GMm}{r^2}$

Retroalimentación: La energía potencial gravitatoria es $E_p = -\ \frac{GMm}{r}$. El signo negativo indica que es una energía de ligadura: se necesita energía para separar los cuerpos hasta el infinito.

10. Un satélite artificial se encuentra en órbita circular. Si queremos llevarlo a una órbita de mayor radio manteniendo la circularidad: (1 puntos)

Debemos aumentar su velocidad Debemos disminuir su velocidad Su velocidad no cambia Primero aumentamos y luego disminuimos su velocidad

Retroalimentación: Para cambiar de órbita circular a otra de mayor radio, primero se aumenta la velocidad para entrar en una órbita elíptica de transferencia, y luego se vuelve a aumentar en el apogeo para circularizar la nueva órbita. La velocidad final será menor que la inicial.

11. Problemas de aplicación del campo gravitatorio: (3 puntos)

a ) Un planeta tiene una masa 4 veces la de la Tierra y un radio 2 veces el terrestre. Calcula la relación entre la aceleración gravitatoria en su superficie y la terrestre ($g_p/g_T$)

b ) Si en la superficie de la Luna (g = 1.62 m/s²) lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba con velocidad de 10 m/s, ¿qué altura máxima alcanzará en metros?

c ) Dos masas de 100 kg cada una están separadas 10 metros. Calcula la fuerza gravitatoria entre ellas en Newton (×10⁻⁶)

Retroalimentación: Para el primer problema: $g \propto \frac{M}{R^2}$, por lo que $ \frac{g_p}{g_T} = \frac{4M_T}{(2R_T)^2} \cdot \frac{R_T^2}{M_T} = 1$. Para el segundo: $ h = \frac{v^2}{2g} = \frac{100}{2 \times 1.62} = 30.9$ m. Para el tercero: $ F = G\ \frac{m^2}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{10000}{100} = 6.67 \times 10^{-6}$ N.

12. ¿Qué velocidad debe tener un proyectil lanzado desde la superficie terrestre para escapar completamente del campo gravitatorio terrestre? (1 puntos)

7.9 km/s 11.2 km/s 16.7 km/s 42.1 km/s

Retroalimentación: La velocidad de escape desde la superficie terrestre es $v_e = \sqrt{\ \frac{2GM}{R}} \approx 11.2$ km/s. Esta es la velocidad mínima necesaria para que un objeto escape completamente del campo gravitatorio terrestre.

13. En el movimiento orbital, la fuerza centrípeta necesaria para mantener la órbita circular es proporcionada por: (1 puntos)

La fuerza de inercia La fuerza gravitatoria La fuerza centrífuga Una combinación de fuerzas gravitatoria y centrífuga

Retroalimentación: En el movimiento orbital circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta: $ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$, de donde se obtiene la velocidad orbital $ v = \sqrt{\ \frac{GM}{r}}$.

14. Si un astronauta tiene una masa de 80 kg en la Tierra, ¿cuál será su masa en la Luna? (1 puntos)

80 kg 13.3 kg 480 kg Depende de la altura

Retroalimentación: La masa es una propiedad intrínseca de la materia que no cambia con la ubicación. Lo que cambia es el peso (fuerza gravitatoria), pero la masa permanece constante independientemente del campo gravitatorio.

15. ¿Cuál es la relación entre el radio orbital y el período según la tercera ley de Kepler? (1 puntos)

$T \propto r$ $T \propto r^2$ $T^2 \propto r^3$ $T^3 \propto r^2$

Retroalimentación: La tercera ley de Kepler establece que $T^2 \propto r^3$, o más específicamente $ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}$ r^3$ $para órbitas circulares, donde M es la masa del cuerpo central.

16. Según la Primera Ley de Kepler, ¿qué forma tienen las órbitas de los planetas alrededor del Sol? (1 puntos)

Circulares, con el Sol en el centro Elípticas, con el Sol en uno de los focos Parabólicas Hiperbólicas

Retroalimentación: La Primera Ley de Kepler establece que todos los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol situado en uno de sus focos.

17. La Segunda Ley de Kepler (ley de las áreas) es una consecuencia de la conservación de qué magnitud física? (1 puntos)

Energía cinética Momento lineal Momento angular Energía mecánica

Retroalimentación: La ley de las áreas, que dice que un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, es una manifestación de la conservación del momento angular ($\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$). Cuando el planeta está más cerca del Sol (perihelio), su velocidad aumenta para que el área barrida sea la misma.

18. ¿Qué relación establece la Tercera Ley de Kepler entre el período orbital (T) y el semieje mayor de la órbita (a)? (1 puntos)

$T / a = \text{constante}$ $T^2 / a^3 = \text{constante}$ $T^3 / a^2 = \text{constante}$ $T \cdot a = \text{constante}$

Retroalimentación: La Tercera Ley de Kepler afirma que el cuadrado del período orbital de un planeta es directamente proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita. Esta constante es la misma para todos los cuerpos que orbitan alrededor de una misma masa central.

19. La fuerza de atracción gravitatoria entre dos masas es: (1 puntos)

Directamente proporcional al producto de las masas Inversamente proporcional a la distancia que las separa Directamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa

Retroalimentación: Según la Ley de Gravitación Universal de Newton, la fuerza es $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$. Es directamente proporcional al producto de las masas ($m_1$ y $m_2$) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ($r^2$).

20. ¿Cómo se define la intensidad del campo gravitatorio ($\vec{g}$) en un punto? (1 puntos)

La energía potencial por unidad de masa en ese punto El trabajo necesario para mover una masa La fuerza gravitatoria por unidad de masa en ese punto ($\vec{F}_G / m$) La constante de gravitación universal (G)

Retroalimentación: El campo gravitatorio $\vec{g}$ es una propiedad del espacio creada por una masa M. Representa la fuerza que experimentaría una masa de prueba $ m$ colocada en ese punto, dividida por su valor: $\vec{g} = \frac{\vec{F}_G}{m}$. Cerca de la superficie terrestre, su módulo es $ g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$.

21. Calcula la fuerza gravitatoria entre la Tierra ($M_T = 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$) y la Luna ($ M_L = 7.35 \times 10^{22} \text{ kg}$). La distancia media es $ d = 3.84 \times 10^8 \text{ m}$ y $ G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2/\ \text{kg}^2$. Expresa el resultado en notación científica con 2 decimales (ej: 1.23e20). (1 punto)

a ) Fuerza en Newtons (N):

Retroalimentación: Usamos la fórmula $F = G \frac{M_T M_L}{d^2}$. Sustituyendo los valores: $ F = (6.67 \times 10^{-11}) \frac{(5.97 \times 10^{24})(7.35 \times 10^{22})}{(3.84 \times 10^8)^2} \approx 1.98 \times 10^{20} \text{ N}$.

22. ¿Cuál de estas afirmaciones sobre la energía mecánica total de un satélite en una órbita elíptica o circular es correcta? (1 puntos)

Siempre es positiva Siempre es cero Es negativa y constante Varía dependiendo de la posición en la órbita

Retroalimentación: La energía mecánica total ($E_m = E_c + E_p$) de un cuerpo en una órbita ligada (circular o elíptica) es siempre negativa y se conserva. Un valor de energía mayor o igual a cero implicaría que el cuerpo no está ligado y escaparía del campo gravitatorio (órbita parabólica o hiperbólica).

23. La velocidad de escape de la superficie de un planeta depende de: (1 puntos)

Solo de la masa del objeto que escapa Solo del radio del planeta De la masa y el radio del planeta De la masa del planeta y de la masa del objeto que escapa

Retroalimentación: La velocidad de escape se calcula con $v_{esc} = \sqrt{\ \frac{2GM}{R}}$. Depende de la masa (M) y el radio (R) del cuerpo masivo (el planeta), pero no de la masa del objeto que escapa.

24. Calcula la velocidad de escape de la superficie de la Tierra ($M_T \approx 6 \times 10^{24} \text{ kg}$, $ R_T \approx 6.4 \times 10^6 \text{ m}$) (1 puntos)

7.9 km/s 11.2 km/s 9.8 km/s 42.1 km/s

Retroalimentación: Usando $v_{esc} = \sqrt{\ \frac{2GM}{R}}$, sustituimos los valores: $ v_{esc} = \sqrt{\ \frac{2(6.67 \times 10^{-11})(6 \times 10^{24})}{6.4 \times 10^6}} \approx 11183 \text{ m/s}$, que es aproximadamente 11.2 km/s.

25. ¿Qué postula el Principio de Equivalencia de Einstein? (1 puntos)

La energía es equivalente a la masa (E=mc²) La velocidad de la luz es constante para todos los observadores La imposibilidad de distinguir localmente entre un campo gravitatorio y un sistema de referencia acelerado El momento angular siempre se conserva

Retroalimentación: El Principio de Equivalencia es una idea clave de la Relatividad General. Afirma que los efectos de la gravedad en un pequeño volumen del espacio son indistinguibles de los efectos de una aceleración. Por ejemplo, una persona en un ascensor en caída libre se siente 'ingrávida', igual que un astronauta en órbita.

26. El límite de un agujero negro, la 'superficie de no retorno' de la cual nada puede escapar, se llama: (1 puntos)

Singularidad Disco de acreción Ergosfera Horizonte de sucesos

Retroalimentación: El horizonte de sucesos es la frontera teórica alrededor de un agujero negro. Cualquier evento que ocurra dentro de este horizonte no puede afectar a un observador externo, ya que para escapar se necesitaría una velocidad superior a la de la luz. Su radio se llama radio de Schwarzschild.

27. La principal causa de las mareas oceánicas en la Tierra es: (1 puntos)

La fuerza centrífuga de la rotación terrestre La atracción gravitatoria total de la Luna La diferencia en la fuerza gravitatoria de la Luna (y el Sol) entre los lados cercano y lejano de la Tierra Las corrientes de convección en el manto terrestre

Retroalimentación: Las mareas son causadas por la fuerza diferencial de gravedad. El lado de la Tierra más cercano a la Luna es atraído con más fuerza que el centro, y el centro es atraído con más fuerza que el lado lejano. Esto 'estira' a la Tierra, creando dos abultamientos de marea.

28. Selectividad 1. Satélite en LEO (1200 kg) a 800 km de altura sobre la Tierra: (5 puntos)

a ) a) Calcula la velocidad orbital en km/s

b ) b) Calcula el período orbital en minutos

c ) c) Energía mecánica total del satélite en órbita (en GJ; signo incluido)

d ) d) Energía necesaria (ΔE en GJ) para pasar a una órbita circular de 1200 km (ignora pérdidas; usa ΔE = E_f − E_i)

Retroalimentación: Usa μ=GM_T=3.986·10^{14}, m³/s², r=R_T+h. v=√(μ/r), T=2π√(r^3/μ), E=−μm/(2r), ΔE=E_f−E_i.

29. Selectividad 2. Planeta X (M=6.0·10^{24} kg, R=3.2·10^{6} m): (5 puntos)

a ) a) Aceleración de la gravedad en superficie (m/s²)

b ) b) Velocidad de escape (km/s)

c ) c) Altura (km) a la que g se reduce a la mitad

d ) d) Potencial gravitatorio en la superficie (MJ/kg; signo incluido)

Retroalimentación: a) g=GM/R². b) v_e=√(2GM/R). c) g(h)=g_0(R/(R+h))² ⇒ h=R(√2−1). d) V=−GM/R; 1 MJ/kg = 10^6 J/kg.

30. Selectividad 3. Punto de gravedad nula entre dos masas m1=800 kg y m2=200 kg separadas 3 m: (3 puntos)

a ) a) Distancia (m) desde m1 hasta el punto donde la intensidad de campo es cero

b ) b) ¿El punto está más cerca de m1 o de m2? (escribe m1 o m2)

Retroalimentación: En la línea que une las masas y entre ellas: GM1/x² = GM2/(d−x)² ⇒ x = d/(1+√(M2/M1)). Está más cerca de la masa menor (m2).

1. Leyes de Kepler

2. Ejemplos resueltos

Contenido ampliado de los apuntes completos

Leyes de Kepler

Primera ley de Kepler: Ley de las órbitas

Segunda ley de Kepler: Ley de las áreas

Tercera ley de Kepler: Ley de los períodos

Resumen de Fórmulas

Leyes fundamentales

Leyes de Kepler

Movimiento orbital

Constantes importantes

Campo gravitatorio (parte 1/6)

Gravitación universal y campo g →

1. Leyes de Kepler

2. Ejemplos resueltos

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Leyes de Kepler

Primera ley de Kepler: Ley de las órbitas

Segunda ley de Kepler: Ley de las áreas

Tercera ley de Kepler: Ley de los períodos

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Campo gravitatorio (parte 1/6)

Gravitación universal y campo g →