Introducción: vídeos de los apuntes completos
1. Antecedentes
El experimento de Michelson-Morley no detectó el "éter" y mostró que la velocidad de la luz es la misma en todas las direcciones. La mecánica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell resultaban incompatibles a altas velocidades.
2. Postulados de Einstein (1905)
1. Las leyes de la física son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales. 2. La velocidad de la luz en el vacío, $c$, es la misma para todos los observadores, independiente del movimiento de la fuente.
3. Factor de Lorentz
4. Ejemplos resueltos
Factor $\gamma$ para $v=0{,}8c$ y tiempo medido por un observador externo para un suceso de 10 s propios.
$\gamma = 1/\sqrt{1-0{,}64} = 1/0{,}6 = 1{,}667$. $\Delta t = 16{,}7$ s.
Calcula el factor de Lorentz para $v=0{,}9c$, $v=0{,}99c$ y $v=0{,}999c$.
$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$: $\gamma(0{,}9c)=2{,}29$; $\gamma(0{,}99c)=7{,}09$; $\gamma(0{,}999c)=22{,}4$. Crece muy rápido al acercarse a $c$.
¿A qué velocidad el factor de Lorentz vale 2?
$\gamma=2\Rightarrow1-\dfrac{v^2}{c^2}=\dfrac14\Rightarrow v=c\sqrt{\dfrac34}=0{,}866c\approx2{,}60\cdot10^{8}\ \mathrm{m/s}$
Una nave se aleja a $0{,}8c$ y lanza un proyectil a $0{,}5c$ respecto a ella en el mismo sentido. ¿Qué velocidad tiene el proyectil respecto a la Tierra?
$u=\dfrac{u'+v}{1+u'v/c^2}=\dfrac{0{,}5c+0{,}8c}{1+0{,}4}=0{,}929c$; nunca se supera $c$.
Contenido ampliado de los apuntes completos
1. Relatividad especial
Las ecuaciones de Maxwell y el experimento de Michelson y Morley mostraron que la velocidad de la luz en el vacío no depende del estado de movimiento del observador. Este resultado entraba en conflicto con la mecánica clásica y llevó a Albert Einstein a formular la relatividad especial.
Postulados de Einstein
Primer postulado. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales.
Segundo postulado. La velocidad de la luz en el vacío es constante para cualquier observador inercial.
Transformaciones de Lorentz
Cuando dos observadores se mueven con velocidad relativa $v$, sus medidas de espacio y tiempo se relacionan mediante las transformaciones de Lorentz:
$x' = \gamma (x - vt)$
$t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right)$
donde el factor de Lorentz es:
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Si $v \ll c$, entonces $\gamma \approx 1$ y se recupera el límite clásico.
Consecuencias relativistas
Dilatación del tiempo
$t = \gamma \tau$
Un reloj en movimiento respecto al observador avanza más lentamente.
Contracción de la longitud
$L = \frac{L_0}{\gamma}$
Las longitudes en la dirección del movimiento se reducen para el observador externo.
Equivalencia masa-energía
$E_0 = mc^2$
La energía total de una partícula relativista es:
$E = \gamma mc^2$
y su energía cinética:
$E_c = (\gamma - 1)mc^2$
Ideas clave de la relatividad
- No existe un sistema inercial privilegiado.
- Espacio y tiempo dependen del observador.
- A velocidades muy altas aparecen efectos no intuitivos como dilatación temporal y contracción espacial.
- Una pequeña masa puede equivaler a una gran cantidad de energía.
Paradoja de los gemelos
Si un gemelo viaja a gran velocidad y luego regresa, habrá envejecido menos que el que permaneció en la Tierra. La situación no es simétrica porque el viajero cambia de sistema de referencia al acelerar y frenar.