1. Consecuencias
- Dilatación del tiempo: $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$ ($\Delta t_0$ = tiempo propio, medido en el sistema que se mueve con el reloj).
- Contracción de la longitud: $L = L_0/\gamma$ (solo en la dirección del movimiento).
- Masa relativista: $m = \gamma m_0$.
- Energía: $E = \gamma m_0c^2$; energía en reposo $E_0 = m_0c^2$; energía cinética $E_c = (\gamma-1)m_0c^2$.
- Imposibilidad de superar $c$: necesitaría energía infinita.
2. Evidencias
Vida media de los muones atmosféricos, relojes atómicos en aviones, aceleradores de partículas, GPS.
3. Ejemplos resueltos
Una nave mide 100 m en reposo. ¿Cuánto mide a $0{,}6c$?
$\gamma=1{,}25 \Rightarrow L = 100/1{,}25 = 80$ m
Energía equivalente a 1 g de masa.
$E=mc^2=10^{-3}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 9\cdot10^{13}$ J
Muones (vida media 2,2 μs) a $0{,}99c$. ¿Vida y distancia recorrida para un observador en la Tierra?
$\gamma = 7{,}09$; $t = 15{,}6\ \mu$s; $d = 0{,}99\cdot3\cdot10^{8}\cdot15{,}6\cdot10^{-6}\approx4{,}6$ km. Sin dilatación solo recorrerían ≈ 650 m.
Energía cinética de un electrón a $v=0{,}6c$ ($m_0c^2=0{,}511$ MeV).
$E_c = (\gamma-1)m_0c^2 = 0{,}25\cdot0{,}511 = 0{,}128$ MeV
Una nave viaja a $0{,}8c$ hacia una estrella que, según la Tierra, está a 12 años luz. Calcula el tiempo del viaje para la Tierra y para la tripulación.
Tierra: $t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{12}{0{,}8}=15$ años.
Tripulación (tiempo propio): $t_0=\dfrac{t}{\gamma}=15\sqrt{1-0{,}64}=9{,}00$ años.
Calcula la energía en reposo de un electrón ($9{,}1\cdot10^{-31}$ kg) en J y en MeV.
$E_0=m_0c^2=9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(3\cdot10^{8})^2=8{,}19\cdot10^{-14}\ \mathrm{J}=0{,}512\ \mathrm{MeV}$
Un protón ($m_0c^2=938$ MeV) se mueve a $0{,}6c$. Calcula su energía total, su energía cinética y su momento ($pc$).
$\gamma=1{,}25$; $E=\gamma m_0c^2=1170\ \mathrm{MeV}$; $E_c=E-m_0c^2=234\ \mathrm{MeV}$; $pc=\gamma m_0v c=704\ \mathrm{MeV}$
¿A qué velocidad la energía cinética de una partícula iguala a su energía en reposo?
$E_c=m_0c^2\Rightarrow(\gamma-1)m_0c^2=m_0c^2\Rightarrow\gamma=2\Rightarrow v=0{,}866c$
4. Errores frecuentes
- Aplicar $\gamma$ al tiempo propio en vez de al medido por el observador relativo.
- Contraer la longitud en las direcciones perpendiculares al movimiento (no se contraen).