Introducción: vídeos de los apuntes completos

1. Definición y cinemática

Un MAS es un movimiento oscilatorio en el que la fuerza recuperadora es proporcional a la elongación: $F = -kx$.

$$ x = A\sin(\omega t + \varphi_0) \qquad v = A\omega\cos(\omega t+\varphi_0) \qquad a = -\omega^2 x $$
  • $A$ amplitud (m), $\omega$ pulsación (rad/s), $\varphi_0$ fase inicial.
  • $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, $f = \dfrac1T$.
  • $v = \pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$; $v_{max}=A\omega$ (en $x=0$); $a_{max}=A\omega^2$ (en $x=\pm A$).

2. Ejemplos resueltos

Un MAS viene dado por $x = 0{,}1\sin(10t)$ (SI). Halla $v_{max}$ y $a_{max}$.

$v_{max} = A\omega = 1$ m/s; $a_{max} = A\omega^2 = 10$ m/s².

Un cuerpo con MAS ($A = 0{,}2$ m, $T = 2$ s) empieza en $x = A$. Escribe $x(t)$.

$\omega = \pi$ rad/s. $x(0)=A \Rightarrow \varphi_0 = \pi/2$: $x = 0{,}2\sin(\pi t+\pi/2) = 0{,}2\cos(\pi t)$.

Un MAS viene dado por $x=0{,}05\cos\left(4\pi t+\tfrac{\pi}{3}\right)$ (SI). Calcula $A$, $\omega$, $T$, $f$, $\varphi_0$ y la posición y velocidad en $t=0$.

$A=0{,}05$ m; $\omega=4\pi=12{,}6$ rad/s; $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=0{,}5$ s; $f=2$ Hz; $\varphi_0=\pi/3$ rad.

$x(0)=0{,}05\cos(\pi/3)=0{,}0250\ \mathrm{m}$; $v(0)=-A\omega\sin(\pi/3)=-0{,}544\ \mathrm{m/s}$

Un MAS tiene $A=0{,}1$ m y $f=2$ Hz. Calcula $v_{max}$, $a_{max}$ y la velocidad cuando $x=0{,}05$ m.

$\omega=2\pi f=12{,}6$ rad/s; $v_{max}=A\omega=1{,}26\ \mathrm{m/s}$; $a_{max}=A\omega^2=15{,}8\ \mathrm{m/s^2}$.

$v=\omega\sqrt{A^2-x^2}=1{,}09\ \mathrm{m/s}$

En un MAS de período 2 s, $x=A\sin\omega t$. ¿Cuánto tarda el móvil en ir desde $x=0$ hasta $x=A/2$?

$\omega=\pi$ rad/s. $\sin\omega t=\tfrac12\Rightarrow\omega t=\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow t=\dfrac{1}{6}\approx0{,}167\ \mathrm{s}$

Contenido ampliado de los apuntes completos

2. Oscilaciones. El oscilador Armónico (OA)

El oscilador armónico es un movimiento periódico de vaivén en el que un cuerpo oscila de un lado a otro de su posición de equilibrio y en intervalos de tiempo iguales. Es el modelo más simple de movimiento periódico que puede utilizarse para modelizar el movimiento de un péndulo simple o de un muelle.

Posición en un punto del OA$y(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0')$ Se puede convertir una función de seno a coseno sumando o restando$\pi/2(90º o 1/4 de vuelta).$

-$\omega t + \phi_0$ es$ la fase de onda) que representa el instante de un movimiento ondulatorio$ -$\phi_0$ es la fase inicial para tiempo 0

La frecuencia angular$\omega = 2\pi/T$, donde T es el período (tiempo en volver a la posición inicial). También se usa su inversa, la frecuencia$ f = 1/T. La frecuencia se da en hercios (Hz), que es igual a$ s^{-1}$.$

Velocidad en un punto del OA$v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega \cdot \cos(\omega t + \phi_0)Sabiendo que$\sin^2 + \cos^2 = 1:$ \frac{y}{A} = \sin(\omega t + \phi_0) \quad \text{y} \quad \frac{v}{A\omega} = \cos(\omega t + \phi_0)por tanto:\sin^2(\omega t + \phi_0) + \cos^2(\omega t + \phi_0) = 1$ \frac{y^2}{A^2} + \frac{v^2}{A^2\omega^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad v = \omega\sqrt{A^2 - y^2}$

Aceleración en un punto del OA$ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2y}{dt^2} = -\omega^2 A \cdot \sin(\omega t + \phi_0) = -\omega^2 y

$$

Ejemplo: Bloque con resorte

$$

Se coloca un bloque de 2,00 kg en una superficie sin fricción. Un resorte con una constante de fuerza de k=32,00 N/m se fija al bloque y el extremo opuesto del resorte se fija a la pared. El bloque se libera del reposo y oscila entre x=+0,02 m y x=-0,02 m. El período del movimiento es de 1,57 s. Determine las ecuaciones de movimiento.

Solución:

Frecuencia angular:$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1,57} = 4,00 \text{ rad/s}Velocidad máxima:$ v_{max} = A\omega = 0,02 \cdot 4,00 = 0,08 \text{ m/s}$ Aceleración máxima:$ a_{max} = A\omega^2 = 0,02 \cdot 16,0 = 0,32 \text{ m/s}^2$ Ecuaciones de movimiento: $

$$ -$ x(t) = 0.02 \text{ m} \cdot \cos(4,00 \text{ rad/s} \cdot t + \phi_0)$-$ v(t) = -0,08 \text{ m/s} \cdot \sin(4,00 \text{ rad/s} \cdot t + \phi_0)$-$ a(t) = -0,32 \text{ m/s}^2 \cdot \cos(4,00 \text{ rad/s} \cdot t + \phi_0)## 3. Aplicación del oscilador armónico a sistemas simples$ $$

Se puede aplicar a diferentes sistemas que siguen este comportamiento. Los sistemas más estudiados y sencillos son el muelle y el péndulo simple.$F = m \cdot a = m \cdot (-\omega^2 x)$

Muelle

Un muelle se comporta de forma elástica durante cierto rango siguiendo la ley de Hooke:

Ley de Hooke: $F = -kxDe-kx = m(-\omega^2 x)$ obtenemosk = m\omega^2$ oT = 2\pi\sqrt{\ \frac{m}{k}}

$

Ver simulación de masa y resorte

Ejemplo: Dos astronautas en la Estación Espacial Internacional desean medir sus masas utilizando un resorte con k=700 N/m. Si un astronauta mide un período de 2,2 s y el otro 1,8 s, ¿cuáles son sus masas?

Solución: $m = \frac{k \cdot T^2}{(2\pi)^2}$ para T = 2,2 s:m = \frac{700 \cdot 2,2^2}{(2\pi)^2} = 85,82 \text{ kg}$ para T = 1,8 s:m = \frac{700 \cdot 1,8^2}{(2\pi)^2} = 57,45 \text{ kg}$

Péndulo simple$

El péndulo simple es una aproximación matemática válida para ángulos muy pequeños.

Para ángulos pequeños:$\sin\theta \approx \frac{x}{L}De la ecuación del MAS para un péndulo:$\omega^2 = \frac{g}{L}$ o T = 2\pi\sqrt{\ \frac{L}{g}}

$

Ver simulación de péndulo

Ejemplo: ¿Cuál es la aceleración debido a la gravedad donde un péndulo de 75,000 cm tiene un período de 1,7357 s?

Solución: $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2} = \frac{4\pi^2 \cdot 0,75000}{(1,7357)^2} = 9,8281 \text{ m/s}^2$

1. En un MAS, la aceleración es máxima en: (1 punto)

2. La velocidad de un MAS es máxima: (1 punto)

3. Problemas numéricos (g = 9,8 m/s²; v_sonido = 340 m/s; I₀ = 10⁻¹² W/m²): (5 puntos)

a ) Pulsación (rad/s) de un MAS con T = 0,5 s.

b ) Velocidad máxima (m/s) con A = 0,2 m y ω = 5 rad/s.

c ) Frecuencia (Hz) de un MAS con ω = 20π rad/s.

d ) Aceleración máxima (m/s²) con A = 0,05 m y ω = 10 rad/s.

e ) Velocidad (m/s) en x = 0,03 m con A = 0,05 m y ω = 10 rad/s.

Oscilaciones y ondas (parte 1/7)

Dinámica y energía del MAS →