1. Dinámica

$$ \omega = \sqrt{\frac km} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac mk} $$

Péndulo simple (oscilaciones pequeñas): $T = 2\pi\sqrt{\dfrac Lg}$.

2. Energía del MAS

$$ E_p = \tfrac12 kx^2 \qquad E_c = \tfrac12 k(A^2-x^2) \qquad E_m = \tfrac12 kA^2 = \text{cte} $$

La energía oscila entre cinética y potencial; la total es constante y proporcional al cuadrado de la amplitud.

3. Ejemplos resueltos

Un muelle con $k=200$ N/m sostiene $m=0{,}5$ kg. Calcula $\omega$ y $T$.

$\omega = \sqrt{200/0{,}5} = 20$ rad/s; $T = 2\pi/20 \approx 0{,}314$ s.

Con $k = 200$ N/m y $A = 0{,}1$ m, calcula $E_m$ y la energía cinética en $x = 0{,}05$ m.

$E_m = \tfrac12\cdot200\cdot0{,}1^2 = 1$ J. $E_p = \tfrac12\cdot200\cdot0{,}05^2 = 0{,}25$ J, luego $E_c = 0{,}75$ J.

Período de un péndulo de 1 m.

$T = 2\pi\sqrt{1/9{,}8} \approx 2{,}01$ s

Un bloque de 0,2 kg cuelga de un muelle de $k=50$ N/m y oscila con $A=0{,}1$ m. Calcula $T$, $f$ y la energía total.

$\omega=\sqrt{k/m}=15{,}8$ rad/s; $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=0{,}397\ \mathrm{s}$; $f=2{,}52\ \mathrm{Hz}$; $E=\tfrac12kA^2=0{,}250\ \mathrm{J}$

Un péndulo simple tiene un período de 1 s en la Tierra. Calcula su longitud y su período en la Luna ($g=1{,}62\ \mathrm{m/s^2}$).

$L=\dfrac{gT^2}{4\pi^2}=0{,}248\ \mathrm{m}$; $T_L=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g_L}}=2{,}46\ \mathrm{s}$

Un cuerpo de 0,5 kg con MAS tiene una energía total de 1 J y $A=0{,}2$ m. Calcula $k$, $\omega$ y $v_{max}$.

$E=\tfrac12kA^2\Rightarrow k=\dfrac{2E}{A^2}=50{,}0\ \mathrm{N/m}$; $\omega=\sqrt{k/m}=10{,}0\ \mathrm{rad/s}$; $v_{max}=A\omega=2{,}00\ \mathrm{m/s}$

4. Errores frecuentes

  • Trabajar la calculadora en grados cuando $\omega t$ está en radianes.
  • Confundir $T$ con $\omega$, o $f$ con $\omega$.
  • Creer que el período del muelle depende de la amplitud (no depende).

Contenido ampliado de los apuntes completos

4. Energía del OA

$$

$$

La energía se puede obtener de la ley de Hooke:$E_{pe} = \int F \cdot dx = \int k \cdot x \cdot dx = \frac{1}{2}$ kx^2 = \frac{1}{2}$ m\omega^2 x^2La energía mecánica total es:$ E_m = E_{pe} + E_c = \frac{1}{2}$ m\omega^2 A^2$

1. Si se duplica la masa de un oscilador masa-muelle, el período: (1 punto)

2. En un péndulo simple con pequeñas oscilaciones, el período depende de: (1 punto)

3. Problemas numéricos (g = 9,8 m/s²; v_sonido = 340 m/s; I₀ = 10⁻¹² W/m²): (5 puntos)

a ) Constante k (N/m) de un muelle con m = 2 kg y T = 1 s.

b ) Longitud (m) de un péndulo con T = 2 s.

c ) Constante k (N/m) de un oscilador con energía 0,5 J y amplitud 0,1 m.

d ) Energía cinética (J) en x = A/2 de un MAS con energía total 0,8 J.

e ) Período (s) de un bloque de 0,1 kg unido a un muelle de k = 40 N/m.

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