1. Flujo del campo eléctrico

$$ \Phi = \oint \vec E\cdot d\vec S \qquad \text{(campo uniforme: } \Phi = E\,S\cos\theta\text{)} \quad [\mathrm{N\,m^2/C}] $$

2. Teorema de Gauss

El flujo a través de una superficie cerrada solo depende de la carga encerrada:

$$ \Phi = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0} \qquad \varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\ \mathrm{C^2/N\,m^2} $$

Es la herramienta para calcular campos con simetría (esférica, cilíndrica o plana): se elige una superficie gaussiana donde $E$ sea constante y perpendicular.

3. Ejemplos resueltos

Flujo a través de una esfera que rodea una carga de 8,85 nC.

$\Phi = Q/\varepsilon_0 = \dfrac{8{,}85\cdot10^{-9}}{8{,}85\cdot10^{-12}} = 1000\ \mathrm{N\,m^2/C}$

Calcula el flujo de un campo uniforme de 500 N/C a través de una superficie plana de 0,2 m² cuya normal forma 60° con el campo.

$\Phi=ES\cos\theta=500\cdot0{,}2\cdot\cos60^\circ=50{,}0\ \mathrm{N\,m^2/C}$

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es de 5000 N·m²/C. ¿Qué carga encierra?

$Q=\varepsilon_0\Phi=8{,}85\cdot10^{-12}\cdot5000\approx4{,}42\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}$

Una carga puntual de $1\ \mu$C está en el centro de un cubo de 10 cm de arista. Calcula el flujo total y el flujo a través de cada cara.

$\Phi_{total}=\dfrac{q}{\varepsilon_0}=1{,}13\cdot10^{5}\ \mathrm{N\,m^2/C}$. Por simetría, cada cara recibe $\dfrac{1}{6}$: $\Phi_{cara}=1{,}88\cdot10^{4}\ \mathrm{N\,m^2/C}$

Contenido ampliado de los apuntes completos

Ley de Gauss

La intensidad de campo viene determinada por el flujo de dicho campo que atraviesa una superficie. El flujo se puede comprender como un número de líneas de campo de forma que cuantas más haya de estas mayor será la intensidad de este campo.

$$ \vec{E} = \frac{\text{flujo}}{S_{\text{superficie}}} $$

También se puede comprender el flujo como la intensidad de campo por la superficie que atraviesa perpendicularmente:

$$ \Phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = E \cdot S \cdot \cos \theta $$

En un campo electrostático el flujo neto de una carga encerrada en una superficie es:

$$ \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_0} $$

Esta ley se puede relacionar con el campo eléctrico que se expande en forma de la superficie de una esfera:

$$ E \cdot S = \frac{q}{\varepsilon_0} \cdot \frac{1}{4\pi r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} $$

Este teorema permite entender la ley de Coulomb:

$$ E = \frac{\text{carga encerrada}}{S_{\text{superficie esférica}}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} $$

1. El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada que no encierra carga es: (1 punto)

2. Para obtener el campo con el teorema de Gauss de forma sencilla hace falta: (1 punto)

3. Problemas numéricos (k = 9·10⁹ N·m²/C²; ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²/(N·m²); e = 1,6·10⁻¹⁹ C; m_e = 9,1·10⁻³¹ kg; m_p = 1,67·10⁻²⁷ kg): (4 puntos)

a ) Flujo (N·m²/C) a través de una superficie cerrada que encierra 17,7 nC.

b ) Flujo (N·m²/C) de un campo de 200 N/C perpendicular a una superficie de 0,5 m².

c ) Carga (nC) encerrada por una superficie cerrada con un flujo de 1130 N·m²/C.

d ) Flujo (en 10³ N·m²/C) a través de cada cara de un cubo con una carga de 0,5 μC en su centro.

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