1. Trabajo y diferencia de potencial

$$ W_{A\to B}^{campo} = -\Delta E_p = q\,(V_A - V_B) $$
  • Las cargas positivas se mueven espontáneamente hacia potenciales menores; las negativas, hacia mayores.
  • El trabajo externo (sin variar $E_c$) es el opuesto: $W_{ext} = q(V_B - V_A)$.

2. Relación entre campo y potencial

$$ E = -\frac{dV}{dr} \qquad \text{y en un campo uniforme:}\quad E = \frac{\Delta V}{d} $$

El campo apunta hacia donde el potencial disminuye. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo, y mover una carga sobre ellas no requiere trabajo.

3. Conservación de la energía

Si solo actúa el campo eléctrico:

$$ \tfrac12 m v_A^2 + qV_A = \tfrac12 m v_B^2 + qV_B $$

Una partícula de carga $q$ acelerada desde el reposo por una diferencia de potencial $\Delta V$ adquiere $E_c = |q\Delta V|$.

4. Ejemplos resueltos

Trabajo del campo al llevar $q = 2$ nC desde $r_A = 0{,}1$ m hasta $r_B = 0{,}4$ m en el campo de $Q = 3\ \mu$C.

$V_A = 2{,}7\cdot10^{5}$ V; $V_B = 6{,}75\cdot10^{4}$ V. $W = q(V_A - V_B) = 2\cdot10^{-9}\cdot2{,}025\cdot10^{5} = 4{,}05\cdot10^{-4}$ J (positivo: el movimiento es espontáneo).

Velocidad de un electrón acelerado desde el reposo por 500 V.

$eV = \tfrac12 mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot500}{9{,}11\cdot10^{-31}}} \approx 1{,}3\cdot10^{7}$ m/s

Un electrón se acelera entre dos placas con una diferencia de potencial de 300 V. Calcula su energía cinética y su velocidad finales si parte del reposo.

$E_c=e\Delta V=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot300=4{,}80\cdot10^{-17}\ \mathrm{J}$; $v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m_e}}\approx1{,}03\cdot10^{7}\ \mathrm{m/s}$

Un protón se libera desde el reposo en un punto a 1500 V y llega a otro a 500 V. Calcula su velocidad.

$\tfrac12m_pv^2=e(V_A-V_B)\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1000}{1{,}67\cdot10^{-27}}}\approx4{,}38\cdot10^{5}\ \mathrm{m/s}$

En un campo uniforme de 400 N/C se desplaza una carga de $5\ \mu$C una distancia de 20 cm en el sentido del campo. Calcula el trabajo del campo y la diferencia de potencial.

$W=qEd=5\cdot10^{-6}\cdot400\cdot0{,}2=4{,}00\cdot10^{-4}\ \mathrm{J}$; $\Delta V=Ed=80{,}0\ \mathrm{V}$ (el potencial disminuye en el sentido del campo).

5. Errores frecuentes

  • Sumar potenciales como vectores (son escalares con signo).
  • Confundir potencial nulo con campo nulo: son independientes.
  • Olvidar el signo de la carga en $W = q\Delta V$.

Contenido ampliado de los apuntes completos

Potencial eléctrico y diferencia de potencial

El potencial eléctrico (V) es una versión del campo de energía potencial electrostática.

$$ V = k \frac{q_1}{r} $$

La unidad de medida es el voltio. Si la carga es positiva el potencial es positivo y sería contrario si la carga es negativa.

$$ 1\ \text{V} = 1\ \text{J}/1\ \text{C} $$

La diferencia de potencial es la diferencia de potencial eléctrico de dos puntos:

$$ \Delta V = V_f - V_i $$

Se puede de esta forma calcular el trabajo de mover una partícula cargada desde dos puntos con diferente potencial:

$$ W = -\Delta E_p = -\Delta V \cdot q $$

El cambio de energía del sistema estudiado, la carga, es el contrario al que experimenta su entorno. El trabajo es la energía que desprende un sistema hacia su entorno, tradicionalmente se comenzó a estudiar para poner una máquina en funcionamiento. Cuando una partícula disminuye su energía potencial (negativa), la energía del trabajo del entorno es positiva. Mientras que si aumenta su energía potencial (positiva), toma energía del entorno siendo el signo negativo.

$$ V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 + \ldots $$

Criterios de signos para potencial

  • Las cargas positivas q+ van de forma espontánea a potenciales decrecientes (ΔV < 0)
  • Las cargas negativas q− van de forma espontánea a potenciales crecientes (ΔV > 0)

1. El trabajo del campo eléctrico al mover una carga sobre una superficie equipotencial es: (1 punto)

2. Una carga negativa abandonada en un campo eléctrico se mueve espontáneamente hacia: (1 punto)

3. Problemas numéricos (k = 9·10⁹ N·m²/C²; ε₀ = 8,85·10⁻¹² C²/(N·m²); e = 1,6·10⁻¹⁹ C; m_e = 9,1·10⁻³¹ kg; m_p = 1,67·10⁻²⁷ kg): (5 puntos)

a ) Diferencia de potencial (V) en un campo uniforme de 200 V/m entre dos puntos separados 5 cm.

b ) Energía cinética (en 10⁻¹⁶ J) de un protón acelerado desde el reposo por 1000 V.

c ) Trabajo (en 10⁻⁷ J) de un campo de 1000 V/m sobre una carga de 2 nC al desplazarla 5 cm en su sentido.

d ) Energía cinética (en 10⁻¹⁷ J) de un electrón acelerado desde el reposo por 100 V.

e ) Distancia (cm) entre dos placas que producen un campo de 3000 V/m con 120 V entre ellas.

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